homologia

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Puesto que los lados AB y CD del trapecio son paralelos, sus homólogos A'B' y C'D' deberían cortarse en un punto de la recta límite de la figura homóloga. No obstante, estos segmentos homólogos A'B' y C'D' son lados opuestos de un cuadrado y, por tanto, son paralelos entre sí. La única posiblidad es, por tanto, que A'B' y C'D' sean paralelos a la recta límite de la figura homóloga, con lo que además serán paralelos al eje. Como A'B' y C'D' cortan a la recta límite de la figura homóloga en un punto M' situado en el infinito del plano en la dirección del eje, los lados AB y CD del trapecio también deben ser paralelos al eje de homología. Conclusión: AB, CD, A'B', C'D', el eje de homología y las dos rectas límite son todas paralelas entre sí.

Por otra parte AD y BC se cortan en un punto N. Como A'D' y B'C' son lados opuestos de un cuadrado, serán paralelos entre sí, y el punto N es por lo tanto un punto de la recta límite. La recta límite es la paralela a AB que pasa por N.

Sea O el punto donde se cortan las diagonales AC y BD del trapecio. El punto homólogo de O, O', será el centro del cuadrado. AC y BD cortan a la recta límite en los puntos P y Q, respectivamente, de forma que las diagonales del cuadrado A'C' y B'D' deben ser paralelas a VP y VQ, respectivametne, siendo V el centro de homología aún desconocido. Como las diagonales del cuadrado A'C' y B'D' son perpendiculares, el lugar geométrico para V es la semicircunferencia de diámetro PQ.

El lado del cuadrado A'D' y la diagonal B'D' deben formar un ángulo de 45º. Por lo tanto, el ángulo <NVQ también será de 45º. El centro de homología V estará situado en la intersección de la semicircunferencia de diámetro PQ con el arco capaz de 45º respecto al segmento NQ.

Los puntos A', B', C' y D' estarán situados respectivamente sobre las rectas AV, BV, CV y DV. Si X es un punto situado sobre el lado AB a una distancia s de A e Y es un punto situado sobre CD a una distancia s de C, entonces la paralela a AV por X cortará a BV en el punto B', y la paralela a CV por Y cortará a DV en el punto D'. Las paralelas a AB por B' y D' cortan a AV y CV, respectivamente, en los puntos A' y C', respectivamente.

[João Risueño Cruz]

genial