5 puntos de una elipse
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João Risueño Cruz
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Todos los casos de cónicas definidas por cinco elementos (entre puntos y tangentes) pueden resolverse aplicando los teoremas de Pascal y Brianchon (y sus deducciones para casos límites), y en algunos casos más complicados como éste también es necesario aplicar el teorema de involución de Desargues (en este caso, su teorema dual). Toda esta información (incluyendo la resolución del problema) puedes encontrarla en:
http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/wh ... /index.htm
que es una excelente guía de como aplicar los teoremas de la geometría proyectiva a al resolución de los problemas con cónicas.
http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/wh ... /index.htm
que es una excelente guía de como aplicar los teoremas de la geometría proyectiva a al resolución de los problemas con cónicas.
En el ejemplo concreto que se presenta aquí, lo primero que hay que hacer es aplicar el dual del Teorema de la Involución de Desargues (http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/wh ... n(cor).htm). Traducido el texto anterior al castellano dice:
"Las tangentes a una cónica trazadas desde un punto exterior (S, en la figura) y los pares de rectas que unen los vértices opuestos de cualquier cuadrilátero inscirto en la cónica con el punto anterior, son tres pares de rayos conjugados de una involución.
Los tres pares de rayos (a,a'), (b,b') y (p,p') están en involución (con el centro de involución en S, se entiende, aunque no lo dice).
Los pares de rayos que unen el punto S con los puntos de intersección de las rectas q y s, y r y t (lados opuestos del cuadrilátero inscrito en la cónica) pertenecen así mismo a la involución definida por los pares de rayos (a,a') y (b,b'). Es más, como los pares de rayos (a,a') y (b,b') son suficientes para determinar la involución, el par de rayos (p,p') es un par de rayos conjugados en esta involución, cualquiera que sea la naturaleza de la cónica inscrita en el cuadrilátero qrst. En consecuencia:
El par de tangentes a una cónica inscrita en un cuadrilátero, trazadas desde un punto exterior a la misma, definen una involución.
Si la involución tiene rayos dobles, cada uno de ellos será equivalente a un par de tangentes (p,p') infinitamente próximas la una a la otra, y será por tanto la tangente en el punto S de alguna cónica inscrita en el cuadrilátero ..."
Por lo tanto el primer paso para resolver el problema es obtener una quinta tangente a la elipse (la tangente en el punto A) que, según el teorema anterior, será uno de los dos rayos dobles en la involución de centro A que determina el par de rayos conjugados que unen A con los vértices opuestos del cuadrilátero inscrito (hay dos rayos dobles y, por lo tanto, 2 posibles elipses inscritas en el cuadrilátero y que pasan por el punto A).
La construcción para obtener los rayos dobles de la involución la tienes en http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/wh ... lerays.htm. Concretamente, se ofrece el siguiente método:
"Dibujar una circunferencia que pase por S y corte a los pares de rayos conjugados (a,a') y (b,b') en los puntos A, A', B y B', respectivamente. Sea R la intersección de AB' con A'B, y Q la intersección de AB con A'B'. Si la recta QR corta a la circunferencia en los puntos M y N, entonces SM y SN son los rayos dobles de la involución buscados".
Luego, una vez que tengas las 5 tangentes es fácil determinar los 5 puntos de tangencia aplicando el teorema de Brianchon, como ya se hizo en http://www.dibujotecnico.com/foro/viewtopic.php?t=1787
"Las tangentes a una cónica trazadas desde un punto exterior (S, en la figura) y los pares de rectas que unen los vértices opuestos de cualquier cuadrilátero inscirto en la cónica con el punto anterior, son tres pares de rayos conjugados de una involución.
Los tres pares de rayos (a,a'), (b,b') y (p,p') están en involución (con el centro de involución en S, se entiende, aunque no lo dice).
Los pares de rayos que unen el punto S con los puntos de intersección de las rectas q y s, y r y t (lados opuestos del cuadrilátero inscrito en la cónica) pertenecen así mismo a la involución definida por los pares de rayos (a,a') y (b,b'). Es más, como los pares de rayos (a,a') y (b,b') son suficientes para determinar la involución, el par de rayos (p,p') es un par de rayos conjugados en esta involución, cualquiera que sea la naturaleza de la cónica inscrita en el cuadrilátero qrst. En consecuencia:
El par de tangentes a una cónica inscrita en un cuadrilátero, trazadas desde un punto exterior a la misma, definen una involución.
Si la involución tiene rayos dobles, cada uno de ellos será equivalente a un par de tangentes (p,p') infinitamente próximas la una a la otra, y será por tanto la tangente en el punto S de alguna cónica inscrita en el cuadrilátero ..."
Por lo tanto el primer paso para resolver el problema es obtener una quinta tangente a la elipse (la tangente en el punto A) que, según el teorema anterior, será uno de los dos rayos dobles en la involución de centro A que determina el par de rayos conjugados que unen A con los vértices opuestos del cuadrilátero inscrito (hay dos rayos dobles y, por lo tanto, 2 posibles elipses inscritas en el cuadrilátero y que pasan por el punto A).
La construcción para obtener los rayos dobles de la involución la tienes en http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/wh ... lerays.htm. Concretamente, se ofrece el siguiente método:
"Dibujar una circunferencia que pase por S y corte a los pares de rayos conjugados (a,a') y (b,b') en los puntos A, A', B y B', respectivamente. Sea R la intersección de AB' con A'B, y Q la intersección de AB con A'B'. Si la recta QR corta a la circunferencia en los puntos M y N, entonces SM y SN son los rayos dobles de la involución buscados".
Luego, una vez que tengas las 5 tangentes es fácil determinar los 5 puntos de tangencia aplicando el teorema de Brianchon, como ya se hizo en http://www.dibujotecnico.com/foro/viewtopic.php?t=1787