5 puntos de una elipse
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João Risueño Cruz
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En este caso se aplica la deducción 2 del dual del teorema de involución de Desargues (véase http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/wh ... (ded2).htm), que afirma:
"Si b y b' son las rectas que unen un punto S dado con dos puntos de una cónica, a la recta que une S con la intersección de las tangentes en dichos puntos, y p y p' las tangentes a la cónica trazadas desde S, entonces a es un rayo doble de la involución determinada por los pares de rayos conjugados (b,b') y (p,p')".
Visto de otro modo, si se conocen un par de tangentes p y p' a la cónica, y un par de puntos A y B de la misma, si S es el punto de intersección de p y p', entonces los pares de rectas (p,p') y (SA,SB), son dos pares de rayos conjugados que determinan una involución de centro S. Los rayos dobles de esta involución pasan por los puntos de intersección de las tangentes trazasas en A y en B a las dos posibles cónicas que pasan por A y B y son tangentes a p y a p'.
En el problema dado, sean r, s y t las tres tangentes; r y s se cortan en el punto P y r y t se cortan en el punto Q. Considérese la involución definida por los pares de rayos conjugados (r,s) y (PA,PB). Según el teorema anterior, los rayos dobles de esta involución pasarán por el punto de intersección de las tangentes a la elipse en A y B. Lo mismo sucede al considerar la involución definida por los pares de rayos conjugados (r,t) y (QA,QB).
Por lo tanto, si se determinan los rayos dobles de ambas involuciones, lor rayos dobles de una y otra involución se cortarán en 4 puntos, que son los 4 posibles puntos de intersección de las tangentes en A y en B (para las 4 elipses distintas que pasan por A y B y son tangentes a r, s y t; para determinar una cualquiera de las soluciones, tómese únicamente uno de los puntos de intersección de dos rayos dobles cualesquiera de diferentes involuciones).
Si X es el punto de intersección obtenido, entonces las rectas XA y XB son otras dos tangentes a la elipse, y queda la elipse definida por 5 tangentes, de las que facilmente se obtienen los 5 puntos de tangencia.
"Si b y b' son las rectas que unen un punto S dado con dos puntos de una cónica, a la recta que une S con la intersección de las tangentes en dichos puntos, y p y p' las tangentes a la cónica trazadas desde S, entonces a es un rayo doble de la involución determinada por los pares de rayos conjugados (b,b') y (p,p')".
Visto de otro modo, si se conocen un par de tangentes p y p' a la cónica, y un par de puntos A y B de la misma, si S es el punto de intersección de p y p', entonces los pares de rectas (p,p') y (SA,SB), son dos pares de rayos conjugados que determinan una involución de centro S. Los rayos dobles de esta involución pasan por los puntos de intersección de las tangentes trazasas en A y en B a las dos posibles cónicas que pasan por A y B y son tangentes a p y a p'.
En el problema dado, sean r, s y t las tres tangentes; r y s se cortan en el punto P y r y t se cortan en el punto Q. Considérese la involución definida por los pares de rayos conjugados (r,s) y (PA,PB). Según el teorema anterior, los rayos dobles de esta involución pasarán por el punto de intersección de las tangentes a la elipse en A y B. Lo mismo sucede al considerar la involución definida por los pares de rayos conjugados (r,t) y (QA,QB).
Por lo tanto, si se determinan los rayos dobles de ambas involuciones, lor rayos dobles de una y otra involución se cortarán en 4 puntos, que son los 4 posibles puntos de intersección de las tangentes en A y en B (para las 4 elipses distintas que pasan por A y B y son tangentes a r, s y t; para determinar una cualquiera de las soluciones, tómese únicamente uno de los puntos de intersección de dos rayos dobles cualesquiera de diferentes involuciones).
Si X es el punto de intersección obtenido, entonces las rectas XA y XB son otras dos tangentes a la elipse, y queda la elipse definida por 5 tangentes, de las que facilmente se obtienen los 5 puntos de tangencia.
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João Risueño Cruz
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A partir de 5 tangentes a una cónica obtener los 5 puntos de tangencia. Eso ya lo vimos en http://www.dibujotecnico.com/foro/viewtopic.php?t=1787 