otro de: foco y la tangente del vertice de una parabola...

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Puede verse como un caso extremo del problema de las cuatro tangentes a la parábola, en el que dos de las tangentes se han ido aproximando hasta coincidir.

Supón que AB es tangente en un punto P, y que tenemos BC tangente en el punto T y dibujamos otra tangente t* en un punto de la parábola T* situado entre P y T. Supón que t* corta a AB en el punto X y a BC en el punto Y.

Como ya comenté en el problema de las 4 tangentes, la circunferencia que circunscribe al triángulo BXY contiene también al foco. Al aproximar T* a T, el punto X se aproxima a B, y el punto Y se aproxima a T. El centro de la circunferencia circunscrita será la intersección de la mediatriz de BX (perpendicular a AB) con la mediatriz de BY. En el límite (al hacer coincidir T* con T), el centro de la circunferencia circunscrita se determinará como la intersección de la perpendicular a AB levantada en el extremo B con la mediatriz de BT.

En definitiva, los pasos para resolver el ejercicio son:

1) Determina O1, punto de intersección de la perpendicular a AB levantada en B con la mediatriz de BT.

2) Determina O2, punto de intersección de la perpendicular a AC levantada en C con la mediatriz de CT.

3) El foco de la parábola será la intersección de la circunferencia de centro O1 que pasa por B y T con la circunferencia de centro O2 que pasa por C y T (dos puntos de intersección, uno es T y el otro es F).

4) Los puntos simétricos del foco respecto a las tangente dadas determinan la directriz de la parábola; la tangente en el vértice es paralela a ésta pero a mitad de distancia del foco.

[João Risueño Cruz]