5 puntos de una hiperbola...

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Muchos de estos problemas de cónicas en los que los datos son puntos y/o tangentes y se conoce, al menos, uno de los focos, pueden resolverse aplicando estas reglas:

1ª) Un punto de una cónica es el centro de una circunferencia que pasa por uno de los focos y es tangente a la circunferencia focal del otro foco.

2ª) El simétrico de uno de los focos con respecto a una tangente cualquiera de la cónica pertenece a la circunferencia focal del otro foco. El simétrico del foco, el punto de tangencia y el otro foco están alineados.

Para aplicar estas reglas a la parábola debe considerarse que uno de los focos está en el infinito y su circunferencia focal es la directriz. Las asíntotas de una hipérbola son un caso particular de tangente, en el que el punto de tangencia está en el infinito. El eje de una parábola también indica la dirección del punto del infinito.

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Aplicando estas reglas al problema concreto, podemos encontrar F2, que debe cumplir lo siguiente:

- Está alineado con F1' y el punto de tangencia de a1, siendo F1' el simétrico de F1 con respecto a a1. Como el punto de tangencia de a1 está en el infinito, esto se traduce en que F2 debe estar situado en la paralela a a1 que pasa por F1'.

- La circunferencia focal con centro en F2 pasa por F1'.

- La circunferencia focal con centro en F2 es tangente a la circunferencia con centro en P que pasa por F1.

Juntándolo todo, F2 es el centro de una circunferencia (la circunferencia focal) con centro en un punto de la recta paralela a a1 que pasa por F1', que pasa por F1' y que es tangente a la circunferencia de centro P que pasa por F1. Si llamamos C a la circunferencia de centro P que pasa por F1 y P' a su simétrica con respecto a la recta paralela a a1 que pasa por F1', el problema se limita a resolver un caso de tangencias CCP, ya que la circunferencia focal debe ser tangente a C y a C' y debe pasar por el punto F1'.

Este problema de tangencias CCP puede resolverse facilmente, aprovechando la simetría del problema, tomando F1' como centro de una inversión que transforme las circunferencias C y C' en sus simétricas con respecto a F1'. El inverso de la circunferencia buscada, que pasa por el centro de inversión, deberá ser la recta tangente a las inversas de C y C'. Conociendo los puntos de tangencia sobre las circunferencias inversas, se determinan enseguida los puntos de tangencia sobre C y C' y, con ello, F2. El proceso se muestra en la siguiente figura:



Teniendo ya ambos focos, se conoce:
- El centro de la hipérbola (punto medio de F1F2)
- El eje mayor (recta F1F2)
- El eje menor (mediatriz de F1F2)
- El parámetro 2a (diferencia de las distancias PF2 y PF1)

Los simétricos de P respecto a ambos ejes nos dan otros 3 puntos de la hipérbola. La circunferencia con centro en el centro de la hipérbola que pasa por F1 y F2 corta a la asíntota a1 en dos puntos tales que proyectados perpendicularmente sobre el eje mayor nos dan los dos vértices de la hipérbola, teniendo ya 5 puntos de la misma.

[João Risueño Cruz]