Buenas. Soy un estudiante de 2º de bachillerato y me han mandado un ejercicio al que le estoy dando bastantes vueltas y que no consigo resolver. Es el siguiente: Realizar las proyecciones diédricas de un tetraedro que tiene una arista contenida en un plano oblicuo y la opuesta es paralela a dicho plano.
Me sería de gran ayuda el que me ayudarais a poder resolverlo porque llevo ya bastante tiempo y no lo consigo. Gracias
Tetraedro
Moderador: vicente
Pongamos que alfa es el plano oblicuo dado. Este plano contiene una de las aristas del tetraedro de vértices A y B que supongo que también vendrán dados (y si no podrás ponerlos como quieras). Sean C* y D* las proyecciones ortogonales de los vértices C y D de la arista opuesta sobre el plano alfa.
Proposición.- AC*BD* es un cuadrado situado en el plano alfa.
Demostración.- Los vértices C y D equidistan de A y de B, con lo cual están situados en la mediatriz de la arista AB, que es un plano perpendicular a la recta AB y, por lo tanto, al plano alfa que lo contiene.
Los puntos C* y D* que resultan de proyectar ortogonalmente C y D sobre alfa seguirán perteneciendo al plano mediatriz de A y B, es decir, C* y D* equidistan de A y de B, y como C*D* y AB miden lo mismo, se concluye que AC*BD* es un cuadrado.
De esta forma, los puntos C* y D* pueden determinarse de forma inmedata (por ejemplo, abatiendo el plano alfa, dibujando el cuadrado en magnitud real y deshaciendo el abatimiento). Luego hay que dibujar C, que estará en la perpendicular a alfa que pasa por C* a una distancia x de C. De la misma forma, D estará situado en la perpendicular a alfa que pasa por D*, a la misma distancia x.
x es la distancia entre los planos paralelos que contienen a las aristas AB y CD, respectivamente. x puede determinarse fácilmente como el cateto de un triángulo rectángulo que tenga por hipotenusa al valor de la arista (AB) y que el otro cateto sea igual a la longitud AC* (el lado del cuadrado abatido). Una vez hallado x en una construcción auxiliar, es fácil terminar el problema.
Proposición.- AC*BD* es un cuadrado situado en el plano alfa.
Demostración.- Los vértices C y D equidistan de A y de B, con lo cual están situados en la mediatriz de la arista AB, que es un plano perpendicular a la recta AB y, por lo tanto, al plano alfa que lo contiene.
Los puntos C* y D* que resultan de proyectar ortogonalmente C y D sobre alfa seguirán perteneciendo al plano mediatriz de A y B, es decir, C* y D* equidistan de A y de B, y como C*D* y AB miden lo mismo, se concluye que AC*BD* es un cuadrado.
De esta forma, los puntos C* y D* pueden determinarse de forma inmedata (por ejemplo, abatiendo el plano alfa, dibujando el cuadrado en magnitud real y deshaciendo el abatimiento). Luego hay que dibujar C, que estará en la perpendicular a alfa que pasa por C* a una distancia x de C. De la misma forma, D estará situado en la perpendicular a alfa que pasa por D*, a la misma distancia x.
x es la distancia entre los planos paralelos que contienen a las aristas AB y CD, respectivamente. x puede determinarse fácilmente como el cateto de un triángulo rectángulo que tenga por hipotenusa al valor de la arista (AB) y que el otro cateto sea igual a la longitud AC* (el lado del cuadrado abatido). Una vez hallado x en una construcción auxiliar, es fácil terminar el problema.