Otro problema muy bonito, como el anterior también sacado del libro de Petersen:
Dado un arco de circunferencia AB cualquiera, determinar un punto C del arco tal que la suma de distancias AB + AC sea máxima.
Nota.- Considerar cómo se dibuja un triángulo ABC conociendo a, Â y b+c.
Dividir un arco en 2 arcos maximizando la suma de cuerdas
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vicente
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No entiendo bien el enunciado, pues si los extremos del arco son A - B y el punto intermedio (a buscar en el arco) es C, la expresión que has puesto ¿no sería AC + BC = máximo?
Si fuese así, la solución sería con C en el punto medio del arco.
Por contra, si el enunciado es tal cual lo pusiste, el punto C estaría a una distancia infinitesimal de B, de tal modo que AC tiende al tamaño de AB y de este modo la suma es máxima (tiende a 2AB).
Bueno, ya me dirás.
Si fuese así, la solución sería con C en el punto medio del arco.
Por contra, si el enunciado es tal cual lo pusiste, el punto C estaría a una distancia infinitesimal de B, de tal modo que AC tiende al tamaño de AB y de este modo la suma es máxima (tiende a 2AB).
Bueno, ya me dirás.
Julius petersen
Hola apolonio, serías tan amable de indicarme la editorial del libro Métodos y Teorías, de Julius Petersen y como se puede adquirir.
Un saludo
PACO.
Un saludo
PACO.
Perdón, Vicente. En efecto quise escribir que hay que maximizar AC + BC.
Paco, el libro del que hablo es "Métodos y Teorías para la resolución de construcciones geométricas, con aplicación a más de 400 problemas". Se trata de un libro muy antiguo pero muy interesante, escrito a finales del siglo XIX por el danés Julius Petersen. Hay una edición en francés que se puede consultar y descargar a través de internet. Parte de la obra y los primeros 55 problemas los tienes resueltos y traducidos al español en esta página:
http://garciacapitan.auna.com/jp/
Paco, el libro del que hablo es "Métodos y Teorías para la resolución de construcciones geométricas, con aplicación a más de 400 problemas". Se trata de un libro muy antiguo pero muy interesante, escrito a finales del siglo XIX por el danés Julius Petersen. Hay una edición en francés que se puede consultar y descargar a través de internet. Parte de la obra y los primeros 55 problemas los tienes resueltos y traducidos al español en esta página:
http://garciacapitan.auna.com/jp/
Os cuento una posible demostración...
Este problema venía dado como una aplicación de la construcción de un triángulo ABC dados a, Â y b+c. Este triángulo puede resolverse de la siguiente manera:
Si consideramos ABC ya dibujado y se toma un punto D sobre la prolongación del lado AB tal que BD=b+c y A esté situado entre B y D, se tiene que AD = c, el triángulo ADC es isósceles y los ángulos <ADC y <DCA valen ambos Â/2. Para resolver el triángulo, se trazaría entonces el arco capaz de Â/2 respecto al lado a dado y luego se trazaría con centro en B un arco de radio b+c, que cortaría al arco capaz en el punto D; la mediatriz de DC cortaría a la recta BD en el vértice A que falta por determinar.
Pues bien, volviendo al problema de la división del arco de circunferencia, teniendo en cuenta que los extremos A y B del arco son fijos, el ángulo <ACB siempre valdrá lo mismo, independientemente de dónde se coloque el punto C, ya que es un ángulo inscrito en una circunferencia, abarcando siempre la misma cuerda AB (es como si la circunferencia fuese el arco capaz de este ángulo respecto al segmento AB).
Se quiere maximizar AC + BC. Supongamos que esta cantidad viniese dada: AC + BC = x, y tuviésemos que dibujar el triángulo ABC del que conocemos AB, el ángulo C y AC + BC = x. Según el procedimiento antes comentado, habría que dibujar el arco capaz del ángulo C/2 respecto al segmento AB. Si nos fijamos bien, el centro de este arco capaz debe estar situado sobre el arco de circunferencia inicial, por la propiedad de que a un ángulo C/2 inscrito en el arco capaz buscado corresponderá un ángulo central C. Y como el centro del arco capaz de C/2 debe estar en la mediatriz de AB, se tendrá que el centro O' del arco capaz buscado es justo el punto medio del arco AB.
Ahora, sobre este arco capaz O' habrá que situar el punto D a una distancia x del vértice A. Como queremos maximizar x, D deberá estar lo más alejado posible de A, es decir, en el punto diametralmente opuesto. Entonces, la recta AD, que debe contener al vértice C, pasará por O', y como O' es un punto del arco capaz de C, se concluye que el vértice C coincide justamente con O', es decir, está situado sobre el punto medio del arco AB, como bien había intuido Vicente.
Este problema solo prentende demostrar como se pueden resolver problemas relativamente complejos mediante construcciones geométricas elementales. Propongo otro problema basado en la misma idea:
En una circunferencia de radio R conocido, inscribir un triángulo de perímetro máximo.
Este problema venía dado como una aplicación de la construcción de un triángulo ABC dados a, Â y b+c. Este triángulo puede resolverse de la siguiente manera:
Si consideramos ABC ya dibujado y se toma un punto D sobre la prolongación del lado AB tal que BD=b+c y A esté situado entre B y D, se tiene que AD = c, el triángulo ADC es isósceles y los ángulos <ADC y <DCA valen ambos Â/2. Para resolver el triángulo, se trazaría entonces el arco capaz de Â/2 respecto al lado a dado y luego se trazaría con centro en B un arco de radio b+c, que cortaría al arco capaz en el punto D; la mediatriz de DC cortaría a la recta BD en el vértice A que falta por determinar.
Pues bien, volviendo al problema de la división del arco de circunferencia, teniendo en cuenta que los extremos A y B del arco son fijos, el ángulo <ACB siempre valdrá lo mismo, independientemente de dónde se coloque el punto C, ya que es un ángulo inscrito en una circunferencia, abarcando siempre la misma cuerda AB (es como si la circunferencia fuese el arco capaz de este ángulo respecto al segmento AB).
Se quiere maximizar AC + BC. Supongamos que esta cantidad viniese dada: AC + BC = x, y tuviésemos que dibujar el triángulo ABC del que conocemos AB, el ángulo C y AC + BC = x. Según el procedimiento antes comentado, habría que dibujar el arco capaz del ángulo C/2 respecto al segmento AB. Si nos fijamos bien, el centro de este arco capaz debe estar situado sobre el arco de circunferencia inicial, por la propiedad de que a un ángulo C/2 inscrito en el arco capaz buscado corresponderá un ángulo central C. Y como el centro del arco capaz de C/2 debe estar en la mediatriz de AB, se tendrá que el centro O' del arco capaz buscado es justo el punto medio del arco AB.
Ahora, sobre este arco capaz O' habrá que situar el punto D a una distancia x del vértice A. Como queremos maximizar x, D deberá estar lo más alejado posible de A, es decir, en el punto diametralmente opuesto. Entonces, la recta AD, que debe contener al vértice C, pasará por O', y como O' es un punto del arco capaz de C, se concluye que el vértice C coincide justamente con O', es decir, está situado sobre el punto medio del arco AB, como bien había intuido Vicente.
Este problema solo prentende demostrar como se pueden resolver problemas relativamente complejos mediante construcciones geométricas elementales. Propongo otro problema basado en la misma idea:
En una circunferencia de radio R conocido, inscribir un triángulo de perímetro máximo.