Hola amigos:
Voy a proponer un ejercicio parecido al de Apolonio del otro dia para que se entretenga el personal.
Dadas dos circunferencias concéntricas cualesquiera, trazar una cuerda de la mayor que quede dividida en tres partes iguales por la menor.
Saludos y ¡ánimo!
Circunferencias
Moderador: vicente
Muy bueno el problema!!
Yo lo he resuelto aplicando una idea similar al problema que yo planteé. Lo que hago es utilizar una figura auxiliar (a la derecha) en la que parto de un segmento cualquiera que divido en tres partes iguales. Cada división de la cuerda tiene una longitud c.
A continuación, he dibujado un triángulo de base c y con los otros dos lados en proporción a los radios de las dos circunferencias, que he llamado R y r, de forma que el vértice opuesto a la base esté situado sobre la mediatriz del segmento inicial. Para ello he dibujado la circunferencia de Apolonio (en rojo) del segmento c para la relación R:r.
Consideremos resuelto el problema, de forma conocemos los puntos de corte de la cuerda solución con ambas circunferencias. Los radios de la circunferencia grande y pequeña que pasan por estos puntos de corte y el segmento de cuerda correspondiente forman un triángulo que ha de ser semejante al anterior, dado que tienen dos lados proporcionales (en relación R:r) y para ambos el vértice opuesto está situado en la mediatriz del segmento cuya medida es tres veces la base.
Por ello, una vez he dibujado el triángulo que sé es semejante al que busco, he hallado la altura del triángulo buscado mediante una construcción de cuarta proporcional (no es más que la recta dibujada en verde, paralela a la altura del triángulo semejante). El valor de esta altura (d) será la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda buscada, lo cual resuelve definitivamente el problema (figura de la izquierda).
Creo que es una solución un tanto engorrosa, pero como Apolonio que soy no podía dejar de emplear las circunferencias de Apolonio. No obstante me gustaría que alguien plantee alguna resolución alternativa.
Yo lo he resuelto aplicando una idea similar al problema que yo planteé. Lo que hago es utilizar una figura auxiliar (a la derecha) en la que parto de un segmento cualquiera que divido en tres partes iguales. Cada división de la cuerda tiene una longitud c.
A continuación, he dibujado un triángulo de base c y con los otros dos lados en proporción a los radios de las dos circunferencias, que he llamado R y r, de forma que el vértice opuesto a la base esté situado sobre la mediatriz del segmento inicial. Para ello he dibujado la circunferencia de Apolonio (en rojo) del segmento c para la relación R:r.
Consideremos resuelto el problema, de forma conocemos los puntos de corte de la cuerda solución con ambas circunferencias. Los radios de la circunferencia grande y pequeña que pasan por estos puntos de corte y el segmento de cuerda correspondiente forman un triángulo que ha de ser semejante al anterior, dado que tienen dos lados proporcionales (en relación R:r) y para ambos el vértice opuesto está situado en la mediatriz del segmento cuya medida es tres veces la base.
Por ello, una vez he dibujado el triángulo que sé es semejante al que busco, he hallado la altura del triángulo buscado mediante una construcción de cuarta proporcional (no es más que la recta dibujada en verde, paralela a la altura del triángulo semejante). El valor de esta altura (d) será la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda buscada, lo cual resuelve definitivamente el problema (figura de la izquierda).
Creo que es una solución un tanto engorrosa, pero como Apolonio que soy no podía dejar de emplear las circunferencias de Apolonio. No obstante me gustaría que alguien plantee alguna resolución alternativa.
circunferencias
Hola amigos:
Te felicito Apolonio has dado con un camino poco explorado por mí. Yo lo he solucionado de la siguiente manera:
Suponiendo el problema resuelto, la cuerda AP sería una solución. Se puede construir el triángulo rectángulo ABP. Otro triángulo ADN será semejante al anterior cuyos lados medirán 2/3 de los del primero, de ahí la solución.
1)Se traza un diámetro cualquiera AB y se divide en tres partes iguales, puntos C y D.
2)Se traza, con centro en C, una circunferencia de diámetro 2/3 de la mayor, que cortará a la menor en N. La paralela a DN por C da M.
Saludos y ¡ánimo
Te felicito Apolonio has dado con un camino poco explorado por mí. Yo lo he solucionado de la siguiente manera:
Suponiendo el problema resuelto, la cuerda AP sería una solución. Se puede construir el triángulo rectángulo ABP. Otro triángulo ADN será semejante al anterior cuyos lados medirán 2/3 de los del primero, de ahí la solución.
1)Se traza un diámetro cualquiera AB y se divide en tres partes iguales, puntos C y D.
2)Se traza, con centro en C, una circunferencia de diámetro 2/3 de la mayor, que cortará a la menor en N. La paralela a DN por C da M.
Saludos y ¡ánimo