Poste con tirantes

[PACO]

Ejercicio propuesto por el profesor D. Francisco G. Medina del IES José María Pineda de Santander.
El poste del dibujo está sujeto por tres tirantes según el dibujo. Se pide cual es la distancia entre A y B, sabiendo que AD = DB.

[vicente]

Empieza por situar un segmento horizontal CP = 10 cm.
Haciendo centro en cada extremo del segmento anterior, haces los arcos de 7,3 y 5 cm por cada lado, tal como indico en el dibujo.
Vas a obtener dos triángulos por el precio de uno; estamos de oferta.

[PACO]

Situándonos en el plano definido por los puntos ABC, dibujamos dos circunferencias concéntricas de radios 5 y 7,3 respectivamente. Suponiendo el problema resuelto, tendremos que hallar un segmento que partiendo de un punto de la circunferencia de radio 5 corte a la otra circunferencia tal que AD=DB, partiendo del punto B trazamos segmentos que cumplan esta condición, B', B'', B'''..... y observamos que el lugar geométricos de dichos puntos es una circunferencia de centro O extremo del diámetro BC de radio 10, donde dicha circunferencia corte a la de radio 7,3 tendremos el punto A que unido con B se cumple AD=DB=3,76.

[vicente]

Teniendo en cuenta que casi todo lo que has dibujado ha sido para demostrar el procedimiento, tu trazado es bastante simple, se limita a sólo tres circunferencias. ¡Muy bueno!

[apolonio]

En realidad debemos darnos cuenta que Paco está considerando una homotecia de centro B y razón 2. En esta homotecia el punto A es homotético de D. Como el lugar geométrico de D es la circunferencia de centro C y radio 5, el lugar geométrico de A será la homotética de esta circunferencia, cuyo centro será O, punto homotético de C. Por otra parte, la distancia AC debe ser 7,3, lo que determina la posición exacta de A.

Este ejercicio también podría plantearse como: "Resolver un triángulo conociendo dos de sus lados y la mediana correspondiente al tercero de los lados". En general, en casi todos los ejercicios de resolución de triángulos en los que aparece alguna mediana suele ser util considerar alguna homotecia de razón 2 y centro en uno de los vértices del triángulo.