Dice el sentido común y la matemática que una parábola se debe poder dibujar si se conocen 4 puntos de ella, pero ¿alguien sabe cómo se haría? Lo he intentado mediante una homología con una circunferencia que pase por dos puntos dados, pero no he conseguido llegar muy lejos.
Por otra parte, creo también que la parábola se podría dibujar sólo con 3 puntos, si se sabe que uno de ellos es el vértice. ¿Alguna idea sobre este punto?
Dibujar parábolas conocidos puntos
Moderador: vicente
Gracias por la respuesta, homologia, pero no me sirvió de mucho ya que dicha construcción se basa en el conocimiento de la parábola entera, no de 4 puntos de la misma.
Buscando por ahí encontré un método para obtener la dirección del eje dados cuatro puntos de la parábola, que se debe a Isaac Newton:
En la figura anterior A, B, C y D son los 4 puntos por los que se quiere hacer pasar la parábola (en realidad, hay dos parábolas posibles que pasan por estos 4 puntos). Las cuerdas AB y CD se cortan en el centro O. Se han trazado ademas las circunferencias de diámetros AB y CD y las perpendiculares a AB y CD por O.
I y J son las intersecciones de la perpendicular a AB por O con la circunferencia de diámetro AB, mientras que K y L son las intersecciones de la perpendicular a CD por O con la circunferencia de diámetro CD. M, N, P y Q son los puntos I, H, K y L girados 90º con centro en O. El cuadrilátero MPNQ es un paralelogramo cuyos lados son paralelos a las dos posibles direcciones del eje de la parábola.
***
La dirección del eje era un dato que me faltaba para poder construir la parábola mediante una homología. Conociendo ya la dirección del eje se puede proceder así:
1) Se traza la circunferencia de diámetro CB, por ejemplo. Se quiere encontrar la homología que transforme dicha circunferencia en la parábola buscada.
2) B y C son puntos dobles, y CB es el eje de homología.
3) La paralela al eje que es tangente a la circunferencia de diámetro CB será la recta límite (si entendemos que la figura de partida es la circunferencia y la figura homóloga es la parábola).
4) El punto de tangencia de la recta límite con la circunferencia tendrá su homólogo en el infinito, en la dirección del eje. La paralela a la dirección del eje pasando por este punto de tangencia de la recta límite con la circunferencia debe contener al centro de homología (LUGAR GEOMÉTRICO 1)
5) La recta AD corta al eje en el punto doble E=E'. Al ser este un punto doble, las polares del mismo respecto de la circunferencia y la parábola han de ser homólogas entre sí
6) Sea p la polar de E respecto a la circunferencia, que corta al eje en el punto doble F=F'
7) La polar p' de E' respecto a la parábola será la recta que pasa por F' y por el cuarto armónico de los puntos E', A y D
La polar p respecto a la circunferencia cortará a la recta límite en un punto G cuyo homólogo está en el infinito en la dirección dada por la polar p'. La recta paralela a p' que pasa por G debe contener al centro de homología (LUGAR GEOMÉTRICO 2)
9) El centro de homología estará en la intersección de los lugares geométricos 1 y 2, hallados en los puntos 4 y 8.
A partir de aquí la homología queda resuelta y es fácil buscar los parámetros de la parábola que interesen.
Seguiré pensando en cómo se puede dibujar una parábola conocidos dos puntos y el vértice
Buscando por ahí encontré un método para obtener la dirección del eje dados cuatro puntos de la parábola, que se debe a Isaac Newton:
En la figura anterior A, B, C y D son los 4 puntos por los que se quiere hacer pasar la parábola (en realidad, hay dos parábolas posibles que pasan por estos 4 puntos). Las cuerdas AB y CD se cortan en el centro O. Se han trazado ademas las circunferencias de diámetros AB y CD y las perpendiculares a AB y CD por O.
I y J son las intersecciones de la perpendicular a AB por O con la circunferencia de diámetro AB, mientras que K y L son las intersecciones de la perpendicular a CD por O con la circunferencia de diámetro CD. M, N, P y Q son los puntos I, H, K y L girados 90º con centro en O. El cuadrilátero MPNQ es un paralelogramo cuyos lados son paralelos a las dos posibles direcciones del eje de la parábola.
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La dirección del eje era un dato que me faltaba para poder construir la parábola mediante una homología. Conociendo ya la dirección del eje se puede proceder así:
1) Se traza la circunferencia de diámetro CB, por ejemplo. Se quiere encontrar la homología que transforme dicha circunferencia en la parábola buscada.
2) B y C son puntos dobles, y CB es el eje de homología.
3) La paralela al eje que es tangente a la circunferencia de diámetro CB será la recta límite (si entendemos que la figura de partida es la circunferencia y la figura homóloga es la parábola).
4) El punto de tangencia de la recta límite con la circunferencia tendrá su homólogo en el infinito, en la dirección del eje. La paralela a la dirección del eje pasando por este punto de tangencia de la recta límite con la circunferencia debe contener al centro de homología (LUGAR GEOMÉTRICO 1)
5) La recta AD corta al eje en el punto doble E=E'. Al ser este un punto doble, las polares del mismo respecto de la circunferencia y la parábola han de ser homólogas entre sí
6) Sea p la polar de E respecto a la circunferencia, que corta al eje en el punto doble F=F'
7) La polar p' de E' respecto a la parábola será la recta que pasa por F' y por el cuarto armónico de los puntos E', A y D
La polar p respecto a la circunferencia cortará a la recta límite en un punto G cuyo homólogo está en el infinito en la dirección dada por la polar p'. La recta paralela a p' que pasa por G debe contener al centro de homología (LUGAR GEOMÉTRICO 2)9) El centro de homología estará en la intersección de los lugares geométricos 1 y 2, hallados en los puntos 4 y 8.
A partir de aquí la homología queda resuelta y es fácil buscar los parámetros de la parábola que interesen.
Seguiré pensando en cómo se puede dibujar una parábola conocidos dos puntos y el vértice