hola gente, tenemos un problema que nos trae de cabeza....
tenemos dos rectas concurrentes que se cruzan fuera del papel y un punto entre las dos. queremos construir un cuadrado con un vértice en el punto dado. el vértice adyacente situado en la recta superior i el opuesto en la recta inferior.
help.
gracias de antemano.
cuadrado tangente a dos rectes concurrentes
Moderador: vicente
Se trata de un clásico problema de giro. Observa que si P es el punto dado, A es el vértice adyacente situado en la recta inferior y B es el vértice opuesto (voy a tomarlo como opuesto a A, aunque no dejas claro si es opuesto a P) situado en la recta inferior, entonces el ángulo APB es de 90º y la distancia PA es igual a la distancia PB (son dos lados del cuadrado). En consecuencia puede afirmarse que el punto B es el resultado de aplicar un giro de 90º al punto A con centro de giro en P. Como A es un punto de la recta superior, el punto B estará situado en la recta que resulta de girar la recta superior 90º con centro de giro en P (para esto no tienes más que tomar dos puntos cualesquiera de la recta superior, girarlos 90º con centro en P, y unir los dos puntos girados). La intersección de la recta girada con la recta inferior te dará la posición exacta de B. Luego trazas el arco con centro en P que pasa por B, que cortará a la recta superior en el vértice A. Por último hay que determinar el vértice opuesto a P, trazando paralelas a PB por A y a PA por B, que se cortarán entre sí en dicho vértice opuesto.
Concurrir o cruzar
¿Cómo pueden concurrir dos rectas que se cruzan?.
Definición geométrica de cruzar. Dicho de una línea: Pasar a cierta distancia de otra no situada en el mismo plano, sin cortala ni serla paralela.
Definición de concurrir. Juntarse en un mismo tiempo o lugar.
Definición geométrica de cruzar. Dicho de una línea: Pasar a cierta distancia de otra no situada en el mismo plano, sin cortala ni serla paralela.
Definición de concurrir. Juntarse en un mismo tiempo o lugar.
cuadrado
Hola amigos:
Applejux, entiendo que donde dices que las rectas se cruzan lo que en realidad quieres dar a entender es que son concurrentes, o sea que se cortan, ¿no es eso?.
Este problema se resuelve si sabes una transformación geométrica llamada GIRO o ROTACIÓN.
Supón las rectas r y s concurrentes y el punto A fuera de ellas. Si el cuadrado es ABCD, el vértice C opuesto a A deberá estar en una de las rectas.
Traza por A la perpendicular a cualquiera de las dos, a r por ejemplo y con centro en A gira dicha perpendicular 45°. Lama M a la intersección con r de la recta girada y trázale la perpendicular por ese punto. La intersección de esta nueva perpendicular con la recta s da la posición del vértice opuesto a A. Espero que sepas averiguar porqué. Los otros dos vértices son cosa fácil ya.
Saludos y ¡ánimo!
Applejux, entiendo que donde dices que las rectas se cruzan lo que en realidad quieres dar a entender es que son concurrentes, o sea que se cortan, ¿no es eso?.
Este problema se resuelve si sabes una transformación geométrica llamada GIRO o ROTACIÓN.
Supón las rectas r y s concurrentes y el punto A fuera de ellas. Si el cuadrado es ABCD, el vértice C opuesto a A deberá estar en una de las rectas.
Traza por A la perpendicular a cualquiera de las dos, a r por ejemplo y con centro en A gira dicha perpendicular 45°. Lama M a la intersección con r de la recta girada y trázale la perpendicular por ese punto. La intersección de esta nueva perpendicular con la recta s da la posición del vértice opuesto a A. Espero que sepas averiguar porqué. Los otros dos vértices son cosa fácil ya.
Saludos y ¡ánimo!
Pues no conocía este teorema, pero es más interesante porque nos permite resolver este mismo problema no ya para un cuadrado o un triángulo equilátero, sino para una figura cualquiera semejante a otra dada. Por ejemplo, se podría dibujar un rectángulo uno de cuyos lados sea el doble del otro.
En cuanto al reto de la demostración, voy a asumirlo, y voy a hacer ver que este teorema puede interpretarse como la aplicación sucesiva de una HOMOTECIA y un GIRO. Esta es la figura en la que me basaré:
Los triángulos semejantes ABC, A1B1C, A2B2C, etc., se han dibujado todos con el vértice común C coincidiendo con el punto P dado y con el vértice A (A1, A2, etc.) apoyado en la recta r dada. Sobre las rectas AC (A1C, A2C, etc.) se ha llevado la distancia CB (CB1, CB2, etc.) obteniendo los puntos B** (B1**, B2**, etc.).
Como la razón entre los segmentos P (PA1, PA2, etc.) y los segmentos PB** (PB1**; PB2**, etc., que recordamos miden lo mismo que PB, PB1, etc.) tiene un valor constante K, puede considerarse que los puntos B** son los homotéticos de los puntos A* en una homotecia de centro P y razón -K. En consecuencia, los puntos B** están todos alineados entre sí, pues están contenidos en la recta homotética de r en la homotecia antes definida. Dicha recta ha de ser, de hecho, paralela a r, como corresponde a una homotecia.
Por otra parte, el ángulo <B**CB* siempre será igual a 180º - <A*CB*, es decir, siempre será el complementario del ángulo C del triángulo, cualquiera que sea el triángulo semejante A*B*C escogido. En consecuencia, y teniendo en cuenta que la distancia PB* es siempre igual a la distancia PB**, los puntos B* se obtendrán a partir de los puntos B** aplicando un giro de centro P y ángulo igual al complementario del ángulo C del triángulo. Puesto que los puntos B** estaban todos alineados entre sí, los puntos B* también lo estarán, estando todos contenidos en la recta que resulta de girar la recta que contiene a los puntos B** un ángulo igual al complementario de C y con centro en el punto P.
En cuanto al reto de la demostración, voy a asumirlo, y voy a hacer ver que este teorema puede interpretarse como la aplicación sucesiva de una HOMOTECIA y un GIRO. Esta es la figura en la que me basaré:
Los triángulos semejantes ABC, A1B1C, A2B2C, etc., se han dibujado todos con el vértice común C coincidiendo con el punto P dado y con el vértice A (A1, A2, etc.) apoyado en la recta r dada. Sobre las rectas AC (A1C, A2C, etc.) se ha llevado la distancia CB (CB1, CB2, etc.) obteniendo los puntos B** (B1**, B2**, etc.).
Como la razón entre los segmentos P (PA1, PA2, etc.) y los segmentos PB** (PB1**; PB2**, etc., que recordamos miden lo mismo que PB, PB1, etc.) tiene un valor constante K, puede considerarse que los puntos B** son los homotéticos de los puntos A* en una homotecia de centro P y razón -K. En consecuencia, los puntos B** están todos alineados entre sí, pues están contenidos en la recta homotética de r en la homotecia antes definida. Dicha recta ha de ser, de hecho, paralela a r, como corresponde a una homotecia.
Por otra parte, el ángulo <B**CB* siempre será igual a 180º - <A*CB*, es decir, siempre será el complementario del ángulo C del triángulo, cualquiera que sea el triángulo semejante A*B*C escogido. En consecuencia, y teniendo en cuenta que la distancia PB* es siempre igual a la distancia PB**, los puntos B* se obtendrán a partir de los puntos B** aplicando un giro de centro P y ángulo igual al complementario del ángulo C del triángulo. Puesto que los puntos B** estaban todos alineados entre sí, los puntos B* también lo estarán, estando todos contenidos en la recta que resulta de girar la recta que contiene a los puntos B** un ángulo igual al complementario de C y con centro en el punto P.
Lugar geométrico
Yo creo que el teorema en el que se basa rashaile para resolver el ejercicio no es de semejanza de triángulos, el fundamento es el de Lugar Geométrico.
El lugar geométrico de las diferentes posiciones que puede tomar el punto S es una línea recta.
Si dibujamos diversos cuadrados con un vértice en el punto P y otro apoyado en una de las rectas, observamos que los posibles puntos S, S', S'',etc.... están en línea recta, por lo tanto, dibujando dos cuadrados cualquiera uniendo los puntos S' y S'' la recta obtenida en su intersección con la recta dada nos da un punto S, que unido con P es el lado del cuadrado solicitado. Si dibujamos el resto del cuadrado veremos que el vétice Q incide sobre la otra recta dada.
El lugar geométrico de las diferentes posiciones que puede tomar el punto S es una línea recta.
Si dibujamos diversos cuadrados con un vértice en el punto P y otro apoyado en una de las rectas, observamos que los posibles puntos S, S', S'',etc.... están en línea recta, por lo tanto, dibujando dos cuadrados cualquiera uniendo los puntos S' y S'' la recta obtenida en su intersección con la recta dada nos da un punto S, que unido con P es el lado del cuadrado solicitado. Si dibujamos el resto del cuadrado veremos que el vétice Q incide sobre la otra recta dada.