tengo un problema en el que estoy estancado, y es la circunferencia tangente a otras dos dadas y a un punto.
muchas gracias de antemano
tangente (C, C, P ), ayuda!
Moderador: vicente
tangentes C.C.P
Hola amigos:
IsmaelR supongo que cuando dices circunferencias tangentes a un punto quieres decir que pasan por un punto. Si es así ahí llevas la forma de sacar adelante la cosa:
Sean Q y Q' las circunferencias y P el punto.
El problema se puede resolver si se toma como centro de inversión el punto P dado y se establece que una de las circunferencias dadas, Q por ejemplo, sea doble y por tanto inversa de sí misma.
Como Q' se supone que no pasa por P deberá tener por inversa otra Qo, homotética con ella, que supongo sabrás encontrar.
Tenemos ahora dos nuevas circunferencias: Q (inversa de sí misma) y Qo inversa de Q', a las cuales se le pueden trazar cuatro rectas tangentes comunes. Como lo más normal será que ninguna de ellas pase por P, sus inversas respectivas habrán de ser las circunferencias que se buscan, pues todas pasarán por P y serán tangentes a las dadas.
Tracemos una recta cualquiera n cuyos puntos de tangencia con Q y Qo son M' y N'. Los inversos de estos puntos serán M y N y estarán respectivamente en Q y Q'. Podremos trazar ahora la primera de las soluciones dado que conocemos tres de sus puntos M, N y P.
Si se hace esto con las otras posibles rectas tangentes a las circunferencias Q, (inversa de sí misma) y Qo inversa de Q' se tendrán las otras tres soluciones.
Saludos y ¡ánimo!
IsmaelR supongo que cuando dices circunferencias tangentes a un punto quieres decir que pasan por un punto. Si es así ahí llevas la forma de sacar adelante la cosa:
Sean Q y Q' las circunferencias y P el punto.
El problema se puede resolver si se toma como centro de inversión el punto P dado y se establece que una de las circunferencias dadas, Q por ejemplo, sea doble y por tanto inversa de sí misma.
Como Q' se supone que no pasa por P deberá tener por inversa otra Qo, homotética con ella, que supongo sabrás encontrar.
Tenemos ahora dos nuevas circunferencias: Q (inversa de sí misma) y Qo inversa de Q', a las cuales se le pueden trazar cuatro rectas tangentes comunes. Como lo más normal será que ninguna de ellas pase por P, sus inversas respectivas habrán de ser las circunferencias que se buscan, pues todas pasarán por P y serán tangentes a las dadas.
Tracemos una recta cualquiera n cuyos puntos de tangencia con Q y Qo son M' y N'. Los inversos de estos puntos serán M y N y estarán respectivamente en Q y Q'. Podremos trazar ahora la primera de las soluciones dado que conocemos tres de sus puntos M, N y P.
Si se hace esto con las otras posibles rectas tangentes a las circunferencias Q, (inversa de sí misma) y Qo inversa de Q' se tendrán las otras tres soluciones.
Saludos y ¡ánimo!
el problema es que una circunferencia es interior a la otra, y son tangentes por el punto mas alto digamos. y el punto es interior a la circunferencia mas grande, pero exterior a la pequeña, con lo que no se aplicar ese metodo en este caso. se me ocurre poner el centro de inversion en en el punto de tangencia de las dos, pero no lo tengo nada claro
gracias por la ayuda
un saludo
gracias por la ayuda
un saludo
No veo problema para aplicar el método comentado por Garicuper. Si tomas el punto P como centro de inversión y la circunferencia grande como circunferencia doble, la inversión va a ser en este caso negativa y la inversa de la circunferencia pequeña será otra circunferencia que es tangente exterior a la circunferencia grande.
Así pues, no hay problema para trazar las dos rectas tangentes exteriores comunes a la circunferencia grande y a la inversa de la pequeña, mientras que sólo habrá una tangente interior: la perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias pasando por el punto de tangencia de ambas. Luego deshaces la inversión, y las inversas de estas 3 rectas te darán 3 circunferencias que pasan por P y que son las 3 soluciones de este problema.
Por lo tanto, lo único que implica que las dos circunferencias sean tangentes es que va a haber 3 soluciones en lugar de las 4 del caso general.
Así pues, no hay problema para trazar las dos rectas tangentes exteriores comunes a la circunferencia grande y a la inversa de la pequeña, mientras que sólo habrá una tangente interior: la perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias pasando por el punto de tangencia de ambas. Luego deshaces la inversión, y las inversas de estas 3 rectas te darán 3 circunferencias que pasan por P y que son las 3 soluciones de este problema.
Por lo tanto, lo único que implica que las dos circunferencias sean tangentes es que va a haber 3 soluciones en lugar de las 4 del caso general.
Tangencias
Hola amigos:
IsmaelR esta podría ser la primera de las soluciones:
Espero que la entiendas con ayuda de lo dicho por Apolonio y por mí. Las otras soluciones debes encontrarlas tú.
Saludos y ¡ánimo!
IsmaelR esta podría ser la primera de las soluciones:
Espero que la entiendas con ayuda de lo dicho por Apolonio y por mí. Las otras soluciones debes encontrarlas tú.
Saludos y ¡ánimo!
Hay otro método para resolver el caso de tangencia CCP, también basado en transformaciones de inversión. Este método puede resultar más útil que el anterior en algunos casos.
En este caso, consideramos la inversión que nos transforma una de las circunferencias dada en la otra. Téngase en cuenta que el centro de inversión coincide con el centro de la transformación homotética que lleva una circunferencia a la otra. Para hallar el centro de inversión basta con hallar un par de puntos homotéticos en las cirucnferencias (lo más fácil es trazar un par de radios paralelos) y unirlos entre sí mediante una recta que cortará a la recta que une los centros de las circunferencias en el centro de homotecia (y por lo tanto de inversión).
Las circunferencias tangentes solución son tangentes a ambas circunferencias, es decir, son tangentes a una circunferencia y a su inversa. Los puntos de tangencia de las circunferencias dadas con cada una de las circunferencias solución constituirán una pareja de puntos inversos en la inversión antes definida, lo cual implica que las circunferencias solución son circunferencias dobles. Esto se traduce en que las circunferencias solución además de pasar por el punto dado tendrán que pasar por su inverso.
Si hallamos el inverso del punto dado, el problema quedará reducido al caso de circunferencia tangente a una circunferencia (una de las dos dadas) que pasa por dos puntos (el punto dado y su inverso), es decir, el caso CCP.
En este caso, consideramos la inversión que nos transforma una de las circunferencias dada en la otra. Téngase en cuenta que el centro de inversión coincide con el centro de la transformación homotética que lleva una circunferencia a la otra. Para hallar el centro de inversión basta con hallar un par de puntos homotéticos en las cirucnferencias (lo más fácil es trazar un par de radios paralelos) y unirlos entre sí mediante una recta que cortará a la recta que une los centros de las circunferencias en el centro de homotecia (y por lo tanto de inversión).
Las circunferencias tangentes solución son tangentes a ambas circunferencias, es decir, son tangentes a una circunferencia y a su inversa. Los puntos de tangencia de las circunferencias dadas con cada una de las circunferencias solución constituirán una pareja de puntos inversos en la inversión antes definida, lo cual implica que las circunferencias solución son circunferencias dobles. Esto se traduce en que las circunferencias solución además de pasar por el punto dado tendrán que pasar por su inverso.
Si hallamos el inverso del punto dado, el problema quedará reducido al caso de circunferencia tangente a una circunferencia (una de las dos dadas) que pasa por dos puntos (el punto dado y su inverso), es decir, el caso CCP.
Gracias por las respuestas al fin lo he entendido, pero me ha surgido un problema:
como comente en la lamina las dos circunferencias son tangentes interiores por el punto mas alto. pues bien al invertir la circunferencia mas pequeña, una de las soluciones se me sale de la lamina, lo que suele significar que hay otro metodo para hacerlo, pero claro, el otro que comentaba apolono no sirve en este caso no??
un saludo
como comente en la lamina las dos circunferencias son tangentes interiores por el punto mas alto. pues bien al invertir la circunferencia mas pequeña, una de las soluciones se me sale de la lamina, lo que suele significar que hay otro metodo para hacerlo, pero claro, el otro que comentaba apolono no sirve en este caso no??
un saludo
El método explicado por Garicuper se puede generalizar tomando cualquier inversión con centro en P (cualquier valor de la potencia de inversión). Se tomó la inversión tal que la circunferencia Q era doble, pero igualmente se puede tomar otra inversión tal que la circunferencia Q' sea doble o cualquier otra. Supongo que será posible buscar una inversión tal que los elementos inversos no se salgan del formato.
No consigo encontrar información sobre la inversión negativa de una circunferencia que no está contenida en el polo...
A ver, Garicuper dio por hecho que es fácil obtener la cincurnferencia inversa Qo (verde en su dibujo), pero yo me he atascado ahí. El resto lo entiendo.
Mi duda es cómo obtenerla, pues a su vez, no sé si el punto C y C' son arbitrarios o no.
A ver, Garicuper dio por hecho que es fácil obtener la cincurnferencia inversa Qo (verde en su dibujo), pero yo me he atascado ahí. El resto lo entiendo.
Mi duda es cómo obtenerla, pues a su vez, no sé si el punto C y C' son arbitrarios o no.