Pues eso, jeje, el problema es, dado un cuadrado de 60 mm de lado, realizar un rectángulo, el cual tenga un lado de 40mm, semejante al cuadrado anterior. Yo lo tengo hecho, quiero decir, sé qué procedimiento tengo que realizar para hacer el ejercicio. El proceso que utilizo es este:
a=AB= 60mm
b= 40mm
1) Hago un segmento AB de 60 mm y sobre él creo el cuadrado correspondiente. (Diremos que el punto C es el que une un lado del cuadrado con A y el punto D será el que forma un lado del cuadrado con B)
2) Hago una paralela a AB a 40 mm del mismo.
3) A continuación de B, llevo b=40mm con ayuda del compás, prolongando así el segmento AB hasta un punto M.
4) Uno D con el punto M. A este segmento DM le busco la mediatriz y la trazo. Así, donde la mediatriz se corta con el segmento AB obtengo un punto N que es el centro del arco que pasa por D y por M.
5) Paralelo a la mediatriz trazada anteriormente (mediatriz de DM) trazo una recta que pase por D. Donde esta recta trazada corta a la prolongación del lado AB por la izquierda, conocemos el punto F.
6) Los lados del rectángulo serán, uno el que ya conocemos (40mm) y el otro el segmento FB. Terminamos el rectángulo por paralelas.
Ese procedimiento es el que uso, y entiendo todos los pasos perfectamente... la pregunta es... ¿alguien podría explicarme por qué estos procesos? Es que no me gusta aprenderme las cosas de memoria porque sí, sino razonarlo todo, ya que así es mucho mejor y no hace falta aprenderse procedimientos de memoria. La mayor duda creo que la tengo en el paso de la mediatriz de DM; es que no entiendo muy bien por qué hacemos lo de la mediatriz de DM y eso. Si alguien pudiera darme la explicación del uso de este procedimiento... lo agradecería. Un saludo!!
Rectángulo(l1=40) semejante a un cuadrado(l=60)
Moderador: vicente
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carlos_fdez90
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carlos_fdez90
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La verdad es que utilizas un procedimiento un tanto complicado, cuya demostración se basaría en la semejanza de los triángulos FMD y BMD. No obstante, te voy a dar unos procedimientos más sencillos para que los recuerdes con más facilidad.
Si l es el lado del cuadrado, a el lado del rectángulo conocido y b el lado que queremos determinar, para que ambas figuras sean equivalentes, tiene que cumplirse que l^2 = a · b. Esta ecuación puede resolverse gráficamente de varias formas. Aquí van tres, para que elijas el que más sencillo te resulte:
Construcción clásica de media proporcional
La relación l^2 = a · b se lee como "l es la media proporcional entre a y b". Supongo que sabrás que para calcular gráficamente la media proporcional de dos segmentos hay que dibujar ambos sobre la misma recta (uno al lado del otro, con un punto común) y trazar la semicircunferncia que tiene por diámetro al segmento suma. Dicha semicircunferencia determina sobre la perpendicular al segmento suma levantada por el punto común de los dos segmentos un segmento cuya longitud es la media proporcional entre a y b.
El procedimiento anterior se basa en el teorema de la altura del triángulo rectángulo, que dice que la altura es media proporcional de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. La semicircunferencia dibujada es el arco capaz de 90º respecto al segmento suma.
Para adaptar este procedimiento a la resolución de b, que es nuestra incógnita, seguimos estos pasos:
a1) Dibujamos el segmento AB de longitud a
a2) Por el extremo B levantamos una perpendicular a AB y llevamos sobre ella la longitud l, obteniendo así un punto C
a3) Se traza la mediatriz del segmento AC, que cortará a AB en el punto O
a4) Se traza la circunferencia con centro en O que pasa por A y por C, que cortará a la prolongación de AB en un punto D, tal que BD es la magnitud del lado b que queríamos determinar
Construcción alternativa de la media proporcional por el teorema del cateto
El teorema del cateto dice que en todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa. Esto nos sugiere resolver la ecuación l^2 = a · b, donde b es la incógnita de la siguiente forma:
b1) Dibuja el segmento de longitud a, que va a hacer las veces de hipotenusa del triángulo rectángulo
b2) Traza el arco capaz de 90º respecto al segmento anterior (semicircunferencia que tiene al segmento por diámetro)
b3) Con centro en un extremo del segmento (llamemos B a este extremo) traza un arco de longitud l (el segmento de longitud l hace las veces de cateto del triángulo rectángulo), cortando a la semicircunferencia anterior (arco capaz) en un punto P
b4) Traza la perpendicular al segmento que pasa por P, que cortará al propio segmento en un punto Q, tal que la distancia BQ es el valor b buscado
Resolución de b como una cuarta proporcional
La ecuación l^2 = a · b puede reescribirse como a / l = l / b, lo cual puede resolverse con una construcción de cuarta proporciona, por ejemplo:
c1) Dibuja el segmento AB de longitud a
c2) Traza una recta arbitraria que pase por A (si trazas la perpendicular a AB, luego ya sólo tendrás que trazar paralelas para completar el rectángulo)
c3) Con centro en a traza un arco de longitud l que corte a AB o a su prolongación en el punto C y a la recta arbitraria en el punto D
c4) La paralela a BD que pasa por C cortará a la recta arbitraria en un punto E tal que AE es la magnitud b buscada
c3) Traza otra recta arbitraria que pase por A (si trazas la perpendicular a AB, luego ya sólo tendrás que trazar paralelas para completar el rectángulo)
Si l es el lado del cuadrado, a el lado del rectángulo conocido y b el lado que queremos determinar, para que ambas figuras sean equivalentes, tiene que cumplirse que l^2 = a · b. Esta ecuación puede resolverse gráficamente de varias formas. Aquí van tres, para que elijas el que más sencillo te resulte:
Construcción clásica de media proporcional
La relación l^2 = a · b se lee como "l es la media proporcional entre a y b". Supongo que sabrás que para calcular gráficamente la media proporcional de dos segmentos hay que dibujar ambos sobre la misma recta (uno al lado del otro, con un punto común) y trazar la semicircunferncia que tiene por diámetro al segmento suma. Dicha semicircunferencia determina sobre la perpendicular al segmento suma levantada por el punto común de los dos segmentos un segmento cuya longitud es la media proporcional entre a y b.
El procedimiento anterior se basa en el teorema de la altura del triángulo rectángulo, que dice que la altura es media proporcional de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. La semicircunferencia dibujada es el arco capaz de 90º respecto al segmento suma.
Para adaptar este procedimiento a la resolución de b, que es nuestra incógnita, seguimos estos pasos:
a1) Dibujamos el segmento AB de longitud a
a2) Por el extremo B levantamos una perpendicular a AB y llevamos sobre ella la longitud l, obteniendo así un punto C
a3) Se traza la mediatriz del segmento AC, que cortará a AB en el punto O
a4) Se traza la circunferencia con centro en O que pasa por A y por C, que cortará a la prolongación de AB en un punto D, tal que BD es la magnitud del lado b que queríamos determinar
Construcción alternativa de la media proporcional por el teorema del cateto
El teorema del cateto dice que en todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa. Esto nos sugiere resolver la ecuación l^2 = a · b, donde b es la incógnita de la siguiente forma:
b1) Dibuja el segmento de longitud a, que va a hacer las veces de hipotenusa del triángulo rectángulo
b2) Traza el arco capaz de 90º respecto al segmento anterior (semicircunferencia que tiene al segmento por diámetro)
b3) Con centro en un extremo del segmento (llamemos B a este extremo) traza un arco de longitud l (el segmento de longitud l hace las veces de cateto del triángulo rectángulo), cortando a la semicircunferencia anterior (arco capaz) en un punto P
b4) Traza la perpendicular al segmento que pasa por P, que cortará al propio segmento en un punto Q, tal que la distancia BQ es el valor b buscado
Resolución de b como una cuarta proporcional
La ecuación l^2 = a · b puede reescribirse como a / l = l / b, lo cual puede resolverse con una construcción de cuarta proporciona, por ejemplo:
c1) Dibuja el segmento AB de longitud a
c2) Traza una recta arbitraria que pase por A (si trazas la perpendicular a AB, luego ya sólo tendrás que trazar paralelas para completar el rectángulo)
c3) Con centro en a traza un arco de longitud l que corte a AB o a su prolongación en el punto C y a la recta arbitraria en el punto D
c4) La paralela a BD que pasa por C cortará a la recta arbitraria en un punto E tal que AE es la magnitud b buscada
c3) Traza otra recta arbitraria que pase por A (si trazas la perpendicular a AB, luego ya sólo tendrás que trazar paralelas para completar el rectángulo)