Hola amigos:
Ahi llevan un problema interesante que me parece que no ha sido propuesto.
Construcción de un trapecio conocidos el ángulo x=75° que forman sus diagonales, las bases AB=80 mm y CD=30 mm y la altura h=70 mm.
Saludos y ¡ánimo!
Trapecio
Moderador: vicente
Se suman las bases y sobre ellas se construye un arco capaz o áureo de 180-75 que es el otro ángulo que forman las diagonales.
se traza una paralela a AB+DC a la altura dada que nos corta al áureo en dos soluciones (tomemos una de ellas la C) uniendo este punto con el B tenemos el lado BC
colocamos la base de arriba DC y unimos D con A.
También tiene dos soluciones por debajo. (Total cuatro sol. posibles)
se traza una paralela a AB+DC a la altura dada que nos corta al áureo en dos soluciones (tomemos una de ellas la C) uniendo este punto con el B tenemos el lado BC
colocamos la base de arriba DC y unimos D con A.
También tiene dos soluciones por debajo. (Total cuatro sol. posibles)
Trapecio
Hola amigos:
Muy bien "pacodib" no esperaba menos de tí. A "homología" no le digo nada, es maestro.
Yo lo solucioné, en su día, de forma algo diferente. Supuse como dice "homología" que el ángulo dado es el que mira para AB, pero también es el que mira para CD, por tanto se podrán construir dos arcos capaces del ángulo dado uno sobre cada base. Si se tiene en cuenta que la distancia entre los dos centros de los arcos tiene que ser (AB+CD)/2, la solución llega inmediatamente.
Saludos y ¡ánimo!
Muy bien "pacodib" no esperaba menos de tí. A "homología" no le digo nada, es maestro.
Yo lo solucioné, en su día, de forma algo diferente. Supuse como dice "homología" que el ángulo dado es el que mira para AB, pero también es el que mira para CD, por tanto se podrán construir dos arcos capaces del ángulo dado uno sobre cada base. Si se tiene en cuenta que la distancia entre los dos centros de los arcos tiene que ser (AB+CD)/2, la solución llega inmediatamente.
Saludos y ¡ánimo!
Observando la figura vemos que los arco capaz de 75º de las bases son tangentes en el punto de interseccion de las diagonales del trapecio, trazando dichos arcos y sabiendo que las distancias entre sus centros será la suma de los radios de dichos arcos, obtemos los centros y con ellos los segmentos de los arcos.
Hay cuatro soluciones, en la imagen sólo aparece una solución.
Hay cuatro soluciones, en la imagen sólo aparece una solución.
Voy a proponer una construcción alternativa (en realidad bastante parecida).
Si M es el punto donde se cortan las dos diagonales, los triángulos ABM y CDM son semejantes. Por lo tanto, si trazamos la perpendicular a las bases por M, esta altura queda dividida en dos partes que son proporcionales a los segmentos AM y CD. La proporción anterior también puede expresarse como:
La suma de las bases es a la altura del trapecio como la medida de cada base es a la distancia del punto M a dicha base
Basándome en esto propongo la siguiente construcción:
1º) Se dibuja el segmento AB y se traza el arco capaz de 75º respecto a él
2º) Con centro en el extremo A se traza un arco de radio igual a la medida CD que corte a la prolongación de AB en el punto P
3º) Se traza por B la perpendicular a AB y se lleva sobre ella la altura del trapecio, determinando así un punto Q
4º) La paralela a PQ que pasa por A cortará a la perpendicular levantada en B en el punto X
5º) Se traza una paralela a AB por X, que corta al arco capaz en dos puntos que son las dos posibles posiciones simétricas de M
6º) Se dibujan las diagonales AM y BM, que cortarán a la paralela a AB trazada por el punto Q en los vértices C y D del trapecio
Si M es el punto donde se cortan las dos diagonales, los triángulos ABM y CDM son semejantes. Por lo tanto, si trazamos la perpendicular a las bases por M, esta altura queda dividida en dos partes que son proporcionales a los segmentos AM y CD. La proporción anterior también puede expresarse como:
La suma de las bases es a la altura del trapecio como la medida de cada base es a la distancia del punto M a dicha base
Basándome en esto propongo la siguiente construcción:
1º) Se dibuja el segmento AB y se traza el arco capaz de 75º respecto a él
2º) Con centro en el extremo A se traza un arco de radio igual a la medida CD que corte a la prolongación de AB en el punto P
3º) Se traza por B la perpendicular a AB y se lleva sobre ella la altura del trapecio, determinando así un punto Q
4º) La paralela a PQ que pasa por A cortará a la perpendicular levantada en B en el punto X
5º) Se traza una paralela a AB por X, que corta al arco capaz en dos puntos que son las dos posibles posiciones simétricas de M
6º) Se dibujan las diagonales AM y BM, que cortarán a la paralela a AB trazada por el punto Q en los vértices C y D del trapecio
Muchas gracias pacodib, veo perfectamente la construcción y su razonamiento teórico, como habrás visto en la imagen no obtenemos el mismo resultado si el valor de la base c la llevamos a la izquierda o la derecha del punto de intersección del arco capaz con la paralela a la otra base a la distancia de la altura, si así fuese tendríamos ocho soluciones, y sólo hay cuatro.
Una imagen vale más que mil palabras.
Un saludo.
Una imagen vale más que mil palabras.
Un saludo.