Bueno..., quisiera saber si alguien pudiese darme una demostración sólida con respecto a que el ángulo central en una circunferencia tiene la misma medida que el arco el cual subtiende.
Gracias, saludos.
Ángulo del centro
Moderador: vicente
Ángulos centrales
Hola amigos:
Mira Kizalid los arcos y los ángulos no pueden valer lo mismo porque son cosas distintas que se miden con unidades diferentes.
El teorema que relaciona los ángulos centrales con los arcos dice:
"En circunferencias iguales o en la misma circunferencia, los ángulos centrales son proporcionales a los arcos correspondientes"
Esto quiere decir, por ejemplo, que si se tienen dos ángulos centrales uno de doble abertura que el otro, también los arcos serán uno de doble longitud que el otro.
Ahí va una parte de la demostración:
Supongamos dos circunferencias iguales de centros Q y Q' y en ellas los ángulos centrales AQB y A'Q'B' cualesquiera. Supongamos también que los arcos AB y A'B' son conmensurables entre sí. Ambos arcos deberán tener una unidad de medida común. Llamemos arcAM a este arco unidad común.
Supongamos que arcAM está contenida en arcAB m veces y en arcA'B' n veces, o sea que
arcAB=m.arcAM y arcA'B'=n.arcAM
y también arcAB/arcA'B'=m.arcAM/n.arcAM=m/n
Pero al dividir el arcAB en m partes iguales el ángulo central AOB habrá quedado dividido en m ángulos centrales iguales. De igual forma al dividir el arcA'B' el ángulo A'O'B' habrá quedado dividido en n ángulos iguales, por lo cual será:
ángAOB/ángA'O'B'=m.ángAOM/n.AOM=m/n
luego ángAOB/ángA'O'B'=arcAB/arcA'B' como dice el enunciado del teorema.
En el supuesto de que los arcos AB y A'B' fueran inconmensurables también se cumpliría el teorema pero la demostración es más larga y no me parece que sea oportuno exponerla, no tengo ganas de aburriros. Otra vez será.
Un saludo y ¡ánimo!
Mira Kizalid los arcos y los ángulos no pueden valer lo mismo porque son cosas distintas que se miden con unidades diferentes.
El teorema que relaciona los ángulos centrales con los arcos dice:
"En circunferencias iguales o en la misma circunferencia, los ángulos centrales son proporcionales a los arcos correspondientes"
Esto quiere decir, por ejemplo, que si se tienen dos ángulos centrales uno de doble abertura que el otro, también los arcos serán uno de doble longitud que el otro.
Ahí va una parte de la demostración:
Supongamos dos circunferencias iguales de centros Q y Q' y en ellas los ángulos centrales AQB y A'Q'B' cualesquiera. Supongamos también que los arcos AB y A'B' son conmensurables entre sí. Ambos arcos deberán tener una unidad de medida común. Llamemos arcAM a este arco unidad común.
Supongamos que arcAM está contenida en arcAB m veces y en arcA'B' n veces, o sea que
arcAB=m.arcAM y arcA'B'=n.arcAM
y también arcAB/arcA'B'=m.arcAM/n.arcAM=m/n
Pero al dividir el arcAB en m partes iguales el ángulo central AOB habrá quedado dividido en m ángulos centrales iguales. De igual forma al dividir el arcA'B' el ángulo A'O'B' habrá quedado dividido en n ángulos iguales, por lo cual será:
ángAOB/ángA'O'B'=m.ángAOM/n.AOM=m/n
luego ángAOB/ángA'O'B'=arcAB/arcA'B' como dice el enunciado del teorema.
En el supuesto de que los arcos AB y A'B' fueran inconmensurables también se cumpliría el teorema pero la demostración es más larga y no me parece que sea oportuno exponerla, no tengo ganas de aburriros. Otra vez será.
Un saludo y ¡ánimo!