Buenas, a ver quien me da resultado a este problemilla:
Dada una circunferencia de radio 5cm. y un punto interior P a 3,5cm. del centro, trazar una cuerda que pase por dicho punto y que quede dividia por el mismo en la razón 7/5.
Muchas gracias, sorprendedme;)
Saludos!
Problema de Recta Secante a Circunferencia
Moderador: vicente
En principio parece que este problema está pensado para resolverlo por homología, así que voy a suponer que conoces los conceptos de homología, centro de homología y razón de homología y que sabes trazar una circunferencia homóloga a otra.
El problema puede plantearse como sigue:
Sea P el centro de una homología de razón -7/5. En esta homología los extremos de la cuerda que se pide dibujar en el problema serán homólogos entre sí (están alineados con el centro de homología y las distancias al mismo guardan una relación 7/5).
Sean Q y Q' el par de puntos homólogos que son extremos de la cuerda pedida. Como Q es un punto de la circunferencia dada, Q' debe ser un punto de la circunferencia homóloga de la dada, además de ser un punto de la propia circunferencia. Es decir, Q' está en la intersección de la circunferencia dada con su homóloga (en la homología de centro P y razón -7/5).
Los pasos para resolver el problema son los siguientes:
1) Dibuja la circunferencia de centro O y radio 5cm y en su interior dibuja el punto P a 3,5cm de O.
2) Une P con O y prologa esta recta.
3) Sobre la recta PO encuentra un punto O' tal que P quede entre O y O' y la distancia de P a O' sea 7/5 veces la distancia de P a O. Esto puedes resolverlo bien numéricamente (7/5 · 35mm = 49mm) o bien gráficamente, por ejemplo, aprovechando que el radio de la circunferencia vale 5cm:
3.1) Traza un radio cualquiera de la cirucunferencia y prolóngalo, cortando a la circunferencia en el punto M
3.2) Sobre este radio encuentra un punto M' que esté a 7cm de O
3.3) Traza una paralela al segmento MP que pase por M', que cortará a la recta PO en un punto Q.
3.4) Con centro en P traza un arco de radio OQ que cortará ala recta PO en el punto O' buscado.
4) Con centro en O' traza una circunferencia de radio igual a 7/5 partes del radio de la circunferencia dada. De nuevo, halla el radio de la nueva circunferencia numéricamente (7/5 · 5cm = 7cm) o gráficamente (con una construcción similar a la anterior).
5) La intersección de la circunferencia dibujada en el paso anterior con la circunferencia inicial determinan dos posibles extremos de la cuerda. Une estos extremos con P para ver dónde queda el otro extremo de la cuerda (2 soluciones).
El problema puede plantearse como sigue:
Sea P el centro de una homología de razón -7/5. En esta homología los extremos de la cuerda que se pide dibujar en el problema serán homólogos entre sí (están alineados con el centro de homología y las distancias al mismo guardan una relación 7/5).
Sean Q y Q' el par de puntos homólogos que son extremos de la cuerda pedida. Como Q es un punto de la circunferencia dada, Q' debe ser un punto de la circunferencia homóloga de la dada, además de ser un punto de la propia circunferencia. Es decir, Q' está en la intersección de la circunferencia dada con su homóloga (en la homología de centro P y razón -7/5).
Los pasos para resolver el problema son los siguientes:
1) Dibuja la circunferencia de centro O y radio 5cm y en su interior dibuja el punto P a 3,5cm de O.
2) Une P con O y prologa esta recta.
3) Sobre la recta PO encuentra un punto O' tal que P quede entre O y O' y la distancia de P a O' sea 7/5 veces la distancia de P a O. Esto puedes resolverlo bien numéricamente (7/5 · 35mm = 49mm) o bien gráficamente, por ejemplo, aprovechando que el radio de la circunferencia vale 5cm:
3.1) Traza un radio cualquiera de la cirucunferencia y prolóngalo, cortando a la circunferencia en el punto M
3.2) Sobre este radio encuentra un punto M' que esté a 7cm de O
3.3) Traza una paralela al segmento MP que pase por M', que cortará a la recta PO en un punto Q.
3.4) Con centro en P traza un arco de radio OQ que cortará ala recta PO en el punto O' buscado.
4) Con centro en O' traza una circunferencia de radio igual a 7/5 partes del radio de la circunferencia dada. De nuevo, halla el radio de la nueva circunferencia numéricamente (7/5 · 5cm = 7cm) o gráficamente (con una construcción similar a la anterior).
5) La intersección de la circunferencia dibujada en el paso anterior con la circunferencia inicial determinan dos posibles extremos de la cuerda. Une estos extremos con P para ver dónde queda el otro extremo de la cuerda (2 soluciones).
Hola amigos:
Apolonio, creo que deberías replantearte lo que has dicho antes. La figura homóloga de una circunferencia creo que es una cónica:ELIPSE si la circunferencia no toca a su recta límite, PARÁBOLA si es tangente a dicha recta y HIPÉRBOLA si la corta, pero no otra circunferencia como estableces en tu planteamiento.
Un saludo y ¡ánimo!
Apolonio, creo que deberías replantearte lo que has dicho antes. La figura homóloga de una circunferencia creo que es una cónica:ELIPSE si la circunferencia no toca a su recta límite, PARÁBOLA si es tangente a dicha recta y HIPÉRBOLA si la corta, pero no otra circunferencia como estableces en tu planteamiento.
Un saludo y ¡ánimo!
Pido disculpas a todos, que se me han cruzado los cables y he empleado un término queriendo referirme a otro.
Cuando he hablado de HOMOLOGÍA, en realidad quería hablar de HOMOTECIA (ya sabeis, ese caso de homología tan particular que tiene el eje nada menos que en el infinito). Sustituid por lo tanto puntos homólogos por puntos homotéticos, etc.
La homotecia obedece a 2 reglas básicas:
1) Los puntos homotéticos están alineados con el centro de homotecia
2) La razón de las distancias de dos puntos homotéticos al centro de homotecia es constante y se denomina razón de homotecia (si la razón es positiva se habla de homotecia directa, y si es negativa, de homotecia inversa, como en este ejercicio).
La figura homotética de una recta es otra recta paralela a la misma. Si la recta pasa por el centro de homotecia, entonces es un elemento doble.
La figura homotética de una circunferencia es otra circunferencia tal que su centro es el homotético del centro de la circunferencia inicial y su radio es igual al radio de la circunferencia inicial multiplicado por la razón de homotecia.
Pido nuevamente disculpas por la confusión que haya podido causar y agradezco que me aceptéis esta aclaración.
Cuando he hablado de HOMOLOGÍA, en realidad quería hablar de HOMOTECIA (ya sabeis, ese caso de homología tan particular que tiene el eje nada menos que en el infinito). Sustituid por lo tanto puntos homólogos por puntos homotéticos, etc.
La homotecia obedece a 2 reglas básicas:
1) Los puntos homotéticos están alineados con el centro de homotecia
2) La razón de las distancias de dos puntos homotéticos al centro de homotecia es constante y se denomina razón de homotecia (si la razón es positiva se habla de homotecia directa, y si es negativa, de homotecia inversa, como en este ejercicio).
La figura homotética de una recta es otra recta paralela a la misma. Si la recta pasa por el centro de homotecia, entonces es un elemento doble.
La figura homotética de una circunferencia es otra circunferencia tal que su centro es el homotético del centro de la circunferencia inicial y su radio es igual al radio de la circunferencia inicial multiplicado por la razón de homotecia.
Pido nuevamente disculpas por la confusión que haya podido causar y agradezco que me aceptéis esta aclaración.