Tangencia de un cono a dos planos

[Eudoro33]

Saludos a todos/as, soy nuevo en este foro y la verdad me gusta aprender cosas de dibujo, he visto interesante este foro.
Voy a empezar por proponerles un problema a ver si alguno de ustedes me puede aclarar el mismo.
El problema es el siguiente: Conocidos la altura y el radio de un cono, hallar los puntos de tangencia a la base del cono (circunferencia de la base) de dos planos perpendiculares entre sí, con el vértice del cono situado en la línea de intersección de dichos planos, siendo el cono tangente a su vez a dichos planos perpendiculares.
Se trata de un cono con su vértice situado en la recta de interseccion de los dos planos perpendiculares, siendo tangente el cono al mismo tiempo a los dos planos.
No se si entendeis bien el problema, o lo he expuesto correctamente, espero me pueda ayudar alguién. GRACIAS.

[vicente]

Hola Eudoro:
Tu planteamiento está claro pero abierto a múltiples posibilidades porque el método de resolución cambiaría según si el cono es recto o si es oblicuo de directriz circular. También cambia el proceso si la base debe estar contenida en un plano de proyección o fuera de ellos, etc.
A ver si puedes concretar algo más los datos para poderte ayudar mejor.

[dibutecni]

Pues asi con esos datos solo puedo darte los dos casos extremos.

El cono mas pequeño seria el que sus ramas forman 90 grados ya que los planos son perpendiculares. Si tubiera menos altura no podria tocar a LT el vertice.

Y el mas grande seria un cono con altura infinita o lo que es lo mismo un cilindro.

La linea roja es la tangencia con los planos.

Siempre que se trate de un cono recto, como bien dice Vicente si se trata de uno oblicuo la cosa cambia bastante.

[Eudoro33]

tengo el problema pero no se como insertar la imagen aquí.

[vicente]

Hola Eudoro,
Te he enviado mi E-mail para que me pases los datos y yo te los subo a esta página. Procura que estén bien claros y en formato "gif" o "jpg".
Mientras no conozcamos esos datos concretos podremos imaginar algunas soluciones más para el caso que fuese oblicuo de directriz circular (que no es de revolución).

[vicente]

Eudoro, el dibujo que me envías no está lo suficiente nítido para que se vea aquí, pero tiene un enunciado muy simple que paso a describir:

Se trata de representar un cono recto de revolución de altura y radio de la base conocidos, que se encuentra "encajado" en el diedro formado por los planos de proyección, de forma que su vértice está en LT y tiene sendas generatrices tangentes a dichos planos.

El problema lo haría yo del siguiente modo:
1º) Sitúas el cono apoyado inicialmente sobre LT de forma que el plano Vertical lo divida en dos mitades simétricas. Esta posición es muy sencilla de representar por ser muy favorable.
2º) Efectúas un giro de eje vertical que pase por el vértice hasta que veas en la proyección horizontal que el cono queda tangente al plano vertical. Y eso es todo.

Si tengo tiempo mañana, te enviaré un dibujo.
Ahora toca prepararse para despedir el año
¡FELIZ AÑO NUEVO PARA TÍ Y PARA TODOS LOS FOREROS!

[dibutecni]

Hola, lo primero feliz 2006 a todos

Basandome en el metodo de Vicente he realizado este dibujo.
Esta un poco lioso pero siguiendo los colores es mas sencillo.
Lo primero que hago es colocar el cono horizontal tocando los dos planos
Vease el triangulo de la izquierda arriba de color negro. Representa medio cono.
Despues el punto E' es el eje de giro en el plano vertical y se coloca con una generatriz tocando al plano horizontal y en el plano vertical se mantiene el mismo punto pero girado. Este seria el triangulo rojo.

Seguidamente el triangulo verde es el resultado de hacer otro giro esta vez en el punto E que esta en el plano horizontal.
Asi conseguimos que las 2 generatrices tocan a los dos plano y el vertice esta en LT.
Y ya para terminar el cono terminado en magenta.
He omitido muchas lineas para que no fuera muy lioso que ya lo es de por si.

[vicente]

Estamos de acuerdo.
Aprovechando que ya tenía el dibujo, lo aporto también y explico el proceso:
1º) En un trazado auxiliar calculo la longitud de la generatriz a partir de la altura y el radio de la base.
2º) Sitúo este triángulo sobre LT, pero completo la proyección horizontal con el eje parpendicular a LT con idea que no se interfiera con la solución buscada.
3º) Giro la proyección horizontal hasta que toque al plano Vertical y posteriormente obtengo la proyección vertical.

[Eudoro33]

Correcto amigos.
Digamos entonces, que el problema se reduce a trazar una linea tangente a una elipse desde un punto situado dicho punto en uno de los ejes de la elipse, ¿me equivoco?

[Eudoro33]

Resuelto el problema anterior, he aquí una segunda parte:
hallar las rectas tangentes del mismo cono pero esta vez con dos planos que forman un angulo â menor de 90º.
Recordad que el problema anterior los planos tangentes formaban entre sí 90º.
Se trata de hallar los dos puntos tangentes de ambos planos con la base del cono que junto con el vértice del cono definirían ambas rectas tangentes.
Gracias por vuestro interés.

[dibutecni]

Cuando dices, el mismo cono, te refieres a que se queda en la misma posicion? .

Osea un 3º plano como este?

[vicente]

Eudoro, como habrás visto, el problema no se reduce simplemente a trazar las tangentes a la elipse desde un punto que está en la prolongación de su eje menor, hay que ejecutar algunos trazados previos para determinar la elipse y su posición.
El segundo planteamiento que estás proponiendo ahora es bastante más complicado y largo. Aquí habría que realizar los cambios de plano necesarios para situar en posición favorable el plano bisector de los dos planos dados para tomarlo como base del trazado fundamental.
Creo que lo mejor es que expongas el enunciado en concreto porque según las posiciones de esos planos el problema tomará un camino u otro.
El planteamiento más sencillo que se me ocurre para esta segunda versión sería aquella en la que los planos fuesen un proyectante vertical y el propio plano Horizontal. Pero si tienes un enunciado concreto, mejor lo expones.

[Eudoro33]

Voy a ser más explícito en la exposición del problema:
Suponed el plano horizontal y otro plano que se corta con el plano horizontal, siendo la recta de intersección la línea de tierra, formando ambos planos un ángulo â, se trata entonces de “encajar” un cono de revolución de radio R y altura H de tal forma que el vértice esté situado en un punto cualquiera de nuestra línea de tierra (recta donde se cortan nuestros dos planos), siendo tangente a la vez a los dos planos.
Lo que quiero es averiguar en esencia son los dos puntos donde la circunferencia de la base es tangente a dichos planos.
No se trata de representar nada en diédrico ni importa la posición que adopten los planos en el primer cuadrante, se trata de averiguar los puntos donde la circunferencia de la base del cono corta o lo que es lo mismo, es tangente a los dos planos que forman el ángulo â.
Lo único a tener en cuenta como bien sabeis es que el ángulo de la “punta” del cono ha de ser igual o menor que el ángulo que forman los dos planos para poder encajar el cono entre los dos planos y que por lo tanto exista la solución al problema.
Los datos numéricos los podeis dar vosotros mismos a vuestro capricho para un caso particular, lo que me interesa saber es el método que empleais para llegar a la solución.
Se trata del mismo problema que ya expuse anteriormente, lo que pasa es que en ese problema los planos formaban un ángulo de 90º para ese caso en particular, en el nuevo caso ya no forman un ángulo de 90º, el ángulo â puede estar comprendido entre 0º y 180º .
No se si me he explicado bien.
Lo que si os puedo decir es que hay una solución bastante elegante al mismo.
Gracias por vuestro interés.

[vicente]

Hola Eudoro:
Considerando que los planos fuesen, por ejemplo, el Horizontal y el 1º bisector, yo he realizado lo siguiente:
1º) En un trazado auxiliar calculo la generatriz "g" y la distancia "d" que hay entre el centro "O" y cualquier plano tangente.
2º) En proyección de perfil llevo la distancia "d" desde cada plano y localizo la posición del centro.
3º) En la proyección horizontal localizo mediante un giro la posición de "O´" y por línea de referencia, O".
4º) El segmento perpendicular al eje por "O´" y de longitud el diámetro de la base será el eje mayor.
5º) El eje menor de esta elipse se localiza con ayuda del primer triángulo del trazado auxiliar.
6º) Subidos estos ejes a la proyección vertical se obtienen un par de ejes conjugados (que para simplificar nos conformaremos con ellos).
7º) El punto de tangencia de la base con el plano Horizontal es el "T" que vemos claramente en proyección horizontal.
8º) A través de la proyección de perfil (puesto que hay simetría respecto del eje) localizamos el punto de tangencia "S" de la base con el 1º bisector.
Todo lo demás es muy simple.

[Eudoro33]

En efecto, Vicente, nos ha resuelto el problema de una forma muy racional y elegante.
La clave del método utilizado por Vicente, radica, desde mi modesto punto de vista en conocer la ubicación del centro de la base del cono, como muy bien ha razonado él conociendo la distancia “mínima” del centro de la base a nuestro plano horizontal, sabiendo que la figura adopta una posición simétrica (por la forma del propio cono), la distancia “mínima” de nuestro centro de la base del cono al otro plano, es la misma que al plano horizontal, y por tanto, (colocando los dos planos de perfil) podemos definir el lugar geométrico de todos los puntos que distan por igual a los dos planos a la distancia “minima” que no es ni más ni menos que una recta paralela a la recta de intersección de los dos planos (vista en perfil veremos un punto).
Sabiendo que el vértice del cono está situado en un punto en concreto de la recta de intersección de los dos planos, sabiendo la altura del cono, teniendo el lugar geométrico (recta paralela a la de intersección) de todos los puntos por igual a los dos planos ya definida, con estos datos ya podemos hallar el centro del cono:
Una vez hallado el centro el resto es “coser y cantar”, hacemos pasar un plano perpendicular al eje del cono que pasa por el centro del cono (plano que contiene la base del cono), que previamente hemos hallado, después abatimos el plano que contiene la base del cono sobre el plano horizontal, junto con el centro de la base, por último y trabajando ya sobre el plano abatido en el plano horizontal no tenemos más que trazar una recta perpendicular desde el centro a las dos trazas del plano abatido con lo que obtenemos los puntos de tangencia a la base del cono.

De igual manera, voy exponer en líneas generales otra manera de resolver el problema:
Situamos nuestro cono apoyado por una de sus generatrices sobre el plano horizontal.
Sabemos que el plano horizontal es tangente al cono por la generatriz de contacto definida dicha generatriz por el vértice y el punto de contacto de la base con el plano horizontal.
Pero también sabemos que existen más planos tangentes a cualquier cono, sabiendo curiosamente que cualquier plano tangente a un cono pasa siempre por el vértice.
Por tanto, se trataría de averiguar un plano tangente a nuestro cono que además forma un ángulo determinado (siempre menor que el ángulo de la “punta” del cono) con nuestro plano horizontal, esto podemos realizarlo de un forma bastante sutil, haciendo inscribir una esfera en nuestro cono cuyo centro lógicamente se encuentra en el eje del cono, después, no hay más que trazar el plano que pasa por el vértice y es tangente a la esfera inscrita, como podreis observar hay dos soluciones (dos puntos tangentes) al mismo, podeis escoger una de ellas.
De esta manera hallaremos la generatriz tangente del plano que buscamos sin mas que unir el vértice con el punto tangente a la esfera.
Os propongo que la esfera inscrita contenga la circunferencia base del cono, de esa manera hallaremos directamente el punto de tangencia del plano con la circunferencia de la base.
Como ya se que mi exposición escrita puede dar lugar a confusión, más adelante haré la exposición gráficamente.
Gracias por vuestro interés.