resolver un ejercicio
Moderador: vicente
resolver un ejercicio
dibujar un triángulo rectángulo conocida altura de hipotenusa y diferencia de catetos.
resolver un ejercicio
Hola pacodib:
Supón que ya has resuelto el problema y tienes dibujado el triángulo ABC rectángulo en C apoyado por su cateto CA. Si giras alrededor de C el cateto CB hasta que coincida con el otro tendrás el segmento CB'=CB y la diferencia entre los catetos será B'A. El triángulo B'AB lo puedes construir fácilmente pues tienes suficientes datos.
Un saludo y ¡ánimo!
Supón que ya has resuelto el problema y tienes dibujado el triángulo ABC rectángulo en C apoyado por su cateto CA. Si giras alrededor de C el cateto CB hasta que coincida con el otro tendrás el segmento CB'=CB y la diferencia entre los catetos será B'A. El triángulo B'AB lo puedes construir fácilmente pues tienes suficientes datos.
Un saludo y ¡ánimo!
No estoy de acuerdo con Garicuper. Procediendo como él dice, del triángulo ABB' conoceríamos la longitud del lado AB' y el valor del ángulo AB'B (135º). Desde luego necesitamos un tercer dato para resolver este triángulo, que sería la altura sobre la hipotenusa, pero no veo cómo puede aplicarse sobre esta construcción (cómo se relaciona con el triángulo ABB').
Una solución un tanto más rebuscada pero que creo que sirve sería la siguiente:
Sea a la hipotenusa, b y c los catetos y h la altura sobre la hipotenusa, entonces:
a^2 = b^2 + c^2 = (b - c)^2 + 2bc = (b - c)^2 + 2ah
de donde
(b - c)^2 = a (a - 2h)
Donde a es el único valor desconocido (la diferencia de los catetos y la altura sobre la hipotenusa son los datos que nos dan). Para determinar el valor de a vamos a utilizar potencias:
1) Se dibuja una circunferencia de radio h
2) Se traza una tangente en un punto cualquiera de la circunferencia
3) Se determina sobre la tangente un punto B a una distancia (b - c) del punto de tangencia
4) Se une B con el centro de la circunferencia y se prolonga
5) La distancia desde B hasta el punto de corte de la recta BO (O es el centro de la circunferencia) con la circunferencia más alejado de P es el valor de la hipotenusa. Por lo tanto, el punto de corte antes citado es el vértice C del triángulo
6) Por el punto medio de la hipotenusa se traza una semicircunferencia que pase por sus extremos (arco capaz de 90º).
7) Se traza una paralela a la hipotenusa a una distancia h de la misma
La intersección del arco capaz y la paralela es el vértice A del triángulo que faltaba.
Una solución un tanto más rebuscada pero que creo que sirve sería la siguiente:
Sea a la hipotenusa, b y c los catetos y h la altura sobre la hipotenusa, entonces:
a^2 = b^2 + c^2 = (b - c)^2 + 2bc = (b - c)^2 + 2ah
de donde
(b - c)^2 = a (a - 2h)
Donde a es el único valor desconocido (la diferencia de los catetos y la altura sobre la hipotenusa son los datos que nos dan). Para determinar el valor de a vamos a utilizar potencias:
1) Se dibuja una circunferencia de radio h
2) Se traza una tangente en un punto cualquiera de la circunferencia
3) Se determina sobre la tangente un punto B a una distancia (b - c) del punto de tangencia
4) Se une B con el centro de la circunferencia y se prolonga
5) La distancia desde B hasta el punto de corte de la recta BO (O es el centro de la circunferencia) con la circunferencia más alejado de P es el valor de la hipotenusa. Por lo tanto, el punto de corte antes citado es el vértice C del triángulo
6) Por el punto medio de la hipotenusa se traza una semicircunferencia que pase por sus extremos (arco capaz de 90º).
7) Se traza una paralela a la hipotenusa a una distancia h de la misma
La intersección del arco capaz y la paralela es el vértice A del triángulo que faltaba.
Resolver un ejercicio
Muchas gracias APOLONIO, llevaba un mes con él y ya casi me daba por vencido
resolver un ejercicio
Tienes razón Apolonio, habia confundido la altura con la mediana.
Un saludo y ¡ánimo!
Un saludo y ¡ánimo!
Digbi, cuando preguntas que cómo llego a la solución no se si te refieres a cómo justifico el procedimiento o a cómo consigo idear ese procedimiento.
Lo primero creo que está bastante bien explicado en el otro post: a partir de la relación (b - c)^2 = a (a - 2h) que demostraba allí (se basa en el teorema de pitágoras y en que b·c = a·h = 2 veces el área del triángulo) busco una circunferencia y un punto que me permitan expresar la ecuación anterior como una igualdad de potencias del punto respecto de una circunferencia.
Para el término de la izquierda ((b - c)^2), al estar elevado al cuadrado, utilizo un segmento tangente. Para el termino de la derecha, tengo que buscar una secante a la circunferencia trazada desde el punto tal que la distancia al punto de corte más próximo sea a - 2h y la distancia al punto de corte más alejado sea a. Por lo tanto la longitud de la cuerda que debe determinar esta secante sobre la circunferencia tiene que ser 2h.
Podría haber hecho una circunferencia con cualquier radio mayor que h, tomar un punto de la misma, buscar otro punto sobre la circunferencia que esté a una distancia igual a 2h del anterior, unir los dos puntos de corte y prolongar la secante, trazar una tangente en un punto cualquiera de la circunferencia, hallar un punto sobre esta tangente a una distancia del punto de tangencia igual a b - c, dibujar una circunferencia concéntrica con la que teníamos que pase por el punto anterior y, finalmente, tomar la distancia desde el punto de corte de esta última circunferencia con la recta secante hasta el punto de corte más alejado como hipotenusa del triángulo, pero creo que se simplifica bastante el trazado si desde el principio se escoge hábilmente una circunferencia de radio h, de forma que la secante a la circunferencia que buscamos pase por su centro.
Si lo que te referías es a cómo se me ha ocurrido esta solución, pues es más complicado de explicar. Supongo que la idea está en buscar una relación sencilla entre todos los parámetros que se conocen y un parámetro adicional que se deja como incógnita a resolver. En este caso he descubierto una relación de tipo A^2 = X (X - B), donde A y B se conocen y X es la incógnita, que se resuelve bastante facilmente aplicando nociones de potencia de un punto respecto a una circunferencia.
Otras veces la relación entre los parámetros puede ser más complicada, pero normalmente las construcciones habituales de media y cuarta proporcional y/o la potencia de un punto respecto de una circunferencia sirven para resolver gráficamente multitud de ecuaciones de este tipo. Prueba, por ejemplo, a resolver este ejercicio:
Ejercicio.- Dados los segmentos a, b y c, hallar la longitud del segmento x sabiendo que : a · b = x (c + x)
Espero la solución.
Lo primero creo que está bastante bien explicado en el otro post: a partir de la relación (b - c)^2 = a (a - 2h) que demostraba allí (se basa en el teorema de pitágoras y en que b·c = a·h = 2 veces el área del triángulo) busco una circunferencia y un punto que me permitan expresar la ecuación anterior como una igualdad de potencias del punto respecto de una circunferencia.
Para el término de la izquierda ((b - c)^2), al estar elevado al cuadrado, utilizo un segmento tangente. Para el termino de la derecha, tengo que buscar una secante a la circunferencia trazada desde el punto tal que la distancia al punto de corte más próximo sea a - 2h y la distancia al punto de corte más alejado sea a. Por lo tanto la longitud de la cuerda que debe determinar esta secante sobre la circunferencia tiene que ser 2h.
Podría haber hecho una circunferencia con cualquier radio mayor que h, tomar un punto de la misma, buscar otro punto sobre la circunferencia que esté a una distancia igual a 2h del anterior, unir los dos puntos de corte y prolongar la secante, trazar una tangente en un punto cualquiera de la circunferencia, hallar un punto sobre esta tangente a una distancia del punto de tangencia igual a b - c, dibujar una circunferencia concéntrica con la que teníamos que pase por el punto anterior y, finalmente, tomar la distancia desde el punto de corte de esta última circunferencia con la recta secante hasta el punto de corte más alejado como hipotenusa del triángulo, pero creo que se simplifica bastante el trazado si desde el principio se escoge hábilmente una circunferencia de radio h, de forma que la secante a la circunferencia que buscamos pase por su centro.
Si lo que te referías es a cómo se me ha ocurrido esta solución, pues es más complicado de explicar. Supongo que la idea está en buscar una relación sencilla entre todos los parámetros que se conocen y un parámetro adicional que se deja como incógnita a resolver. En este caso he descubierto una relación de tipo A^2 = X (X - B), donde A y B se conocen y X es la incógnita, que se resuelve bastante facilmente aplicando nociones de potencia de un punto respecto a una circunferencia.
Otras veces la relación entre los parámetros puede ser más complicada, pero normalmente las construcciones habituales de media y cuarta proporcional y/o la potencia de un punto respecto de una circunferencia sirven para resolver gráficamente multitud de ecuaciones de este tipo. Prueba, por ejemplo, a resolver este ejercicio:
Ejercicio.- Dados los segmentos a, b y c, hallar la longitud del segmento x sabiendo que : a · b = x (c + x)
Espero la solución.
Si sólo es esa tu duda, entonces es fácil de explicar.
A veces las matemáticas nos ayudan con el dibujo, como en esta ocasión. Cuando yo estudiaba matemáticas me enseñaron que el cuadrado de una diferencia de términos se puede desarrollar como:
(b - c)^2 = b^2 - 2bc + c^2
de forma que:
(b - c)^2 + 2bc = b^2 + c^2
Eso es una verdad universal y abstracta. No importa que b y c sean las longitudes de los lados de un triángulo o que sean kilos de patatas.
A veces las matemáticas nos ayudan con el dibujo, como en esta ocasión. Cuando yo estudiaba matemáticas me enseñaron que el cuadrado de una diferencia de términos se puede desarrollar como:
(b - c)^2 = b^2 - 2bc + c^2
de forma que:
(b - c)^2 + 2bc = b^2 + c^2
Eso es una verdad universal y abstracta. No importa que b y c sean las longitudes de los lados de un triángulo o que sean kilos de patatas.