He estado estudiando el segundo problema que había quedado sin resolver y que decía:
2- Dados 3 puntos ABC no alineados, construir un triangulo equilatero cuyos lados pasen por los tres puntos, que no son vertices, y cuyo perimetro es el máximo posible.
Pues bien, como ya apunté en un post anterior lo único que se me ocurría era que los lugares geométricos para los tres vértices del triángulo equilátero eran los arcos capaces de 60º respecto de los tres segmentos que resultan de unir dos a dos los tres puntos A, B y C que nos dan como dato.
El problema está en aplicar la condición de que el perímetro del triángulo ha de ser el máximo posible. Desde luego, si el perímetro es máximo también lo es el lado del triángulo, así que el problema anterior se transforma en este subproblema:
Dadas dos circunferencias cualesquiera que se cortan en los puntos A y B, trazar una recta que pase por A y que corte a las circunferencias en los puntos P y Q, de manera que la distancia PQ sea máxima
La siguiente figura ilustra este problema:
No tengo ni idea de cómo demostrarlo, pero experimentalmente (utilizando un programa de geometría dinámica) he comprobado que la distancia óptima P*Q* se produce para la recta que es perpendicular al segmento AB o, lo que es lo mismo, para la recta paralela a la que une los centros de las circunferencias.
Resuelto este problema previo, se puede aplicar para resolver el problema inicial como se muestra en esta figura:
Se han trazado los arcos capaces de 60º respecto de los segmentos AB, BC y CA. Hay que observar que estas 3 circunferencias se cortan en un mismo punto F que, según he visto por ahí, tiene hasta nombre y se llama punto de Fermat. Los lados del triángulo solución son las perpendiculares a FA por A, a FB por B y a FC por C.[/i]
