mañana tengo k entregar este problema k me trae de cabeza ahi va:
un amigo le dice a otro: Tengo tres hijos cuyas edades, que son numeros enteros, si las tomasemos como longitudes formarían un triangulo , de manera que uno de sus angulos es el doble que el otro. si mi hijo mediano tiene 5 años, ¿qué edades tienen los otros dos?
si alguien me puede decir como resolverlo se lo agradecere
ayuda
Moderador: vicente
Si se debe resolver el problema en el campo del dibujo técnico, no tengo ni idea de cómo hacerlo. Si no, no sé qué pinta en este foro. De todas formas, voy a darte una solución al problema púramente numérica.
Sean a, b y c los lados del triángulo pedido (las edades de los hijos) y A, B y C los ángulos opuestos, tales que B = 2C y A = 180º - (B + C) = 180º - 3C.
Sabemos que:
senB = sen2C = 2senCcosC, y
senA = sen(180º - 3C) = sen3C = 3senCcos^2C - sen^3C = senC · (3cos^2C - sen^2C) = senC · (4cos^2C - 1)
Ahora, por el teorema del seno se tiene que:
b / c = senB / senC = 2cosC --> cosC = b / 2c, y
a / c = sen A/ senC = 4cos^2C - 1
Sustituyendo el valor de cosC obtenido de la primera ecuación en la segunda ecuación obtenemos:
a / c = b^2 / c^2 - 1
Multiplicando todo por c^2 y reorganizando:
ac = b^2 - c^2 --> b^2 = c (a + c)
Ahora, sabemos que uno de los valores a, b ó c, concretamente el mediano, debe valer 5.
c no puede valer 5, pues obligaría a que, siendo b^2 = 5 (a + 5), b sea un múltiplo de 5. Si b = 5, entonces a = 0, que no se admite como solución, y si b > 5, entonces debería ser a <5>= 5, pues ha de ser n > 1).
Si b = 5, entonces 25 = c (a+c), lo que obliga a que c sea un divisor de 25 (1, 5 ó 25), donde la única solución posible es (a,b,c) = (24,5,1)
Por último, si a = 5, la ecuación quedaría como b^2 = c (5 + c). Como ha de ser b > c (entre otras cosas porque B > C), entonces tiene que ser b > 5 y c < 5 (para que 5 sea el valor intermedio). c tiene que tomar uno de los valores 1, 2, 3 ó 4, y el único de estos valores tal que c (5 + c) es un cuadrado perfecto es c = 4. De aquí se obtiene otra solución posible (a,b,c) = (5,6,4)
Sean a, b y c los lados del triángulo pedido (las edades de los hijos) y A, B y C los ángulos opuestos, tales que B = 2C y A = 180º - (B + C) = 180º - 3C.
Sabemos que:
senB = sen2C = 2senCcosC, y
senA = sen(180º - 3C) = sen3C = 3senCcos^2C - sen^3C = senC · (3cos^2C - sen^2C) = senC · (4cos^2C - 1)
Ahora, por el teorema del seno se tiene que:
b / c = senB / senC = 2cosC --> cosC = b / 2c, y
a / c = sen A/ senC = 4cos^2C - 1
Sustituyendo el valor de cosC obtenido de la primera ecuación en la segunda ecuación obtenemos:
a / c = b^2 / c^2 - 1
Multiplicando todo por c^2 y reorganizando:
ac = b^2 - c^2 --> b^2 = c (a + c)
Ahora, sabemos que uno de los valores a, b ó c, concretamente el mediano, debe valer 5.
c no puede valer 5, pues obligaría a que, siendo b^2 = 5 (a + 5), b sea un múltiplo de 5. Si b = 5, entonces a = 0, que no se admite como solución, y si b > 5, entonces debería ser a <5>= 5, pues ha de ser n > 1).
Si b = 5, entonces 25 = c (a+c), lo que obliga a que c sea un divisor de 25 (1, 5 ó 25), donde la única solución posible es (a,b,c) = (24,5,1)
Por último, si a = 5, la ecuación quedaría como b^2 = c (5 + c). Como ha de ser b > c (entre otras cosas porque B > C), entonces tiene que ser b > 5 y c < 5 (para que 5 sea el valor intermedio). c tiene que tomar uno de los valores 1, 2, 3 ó 4, y el único de estos valores tal que c (5 + c) es un cuadrado perfecto es c = 4. De aquí se obtiene otra solución posible (a,b,c) = (5,6,4)