¿alguien puede decirme cómo encontrar los ejes de la elipse teniendo 2 tangentes, un foco y la distancia focal?
muchas gracias
tangente elipse
Moderador: vicente
No sé si conoces esta propiedad para trabajar con las tangentes de la elipse (también se puede generalizar para cualquier otra cónica) pero si no la conoces apréndela, pues resulta muy útil para resolver este tipo de ejercicios.
El punto simétrico de un foco con respecto a cualquier tangente está situado sobre la circunferencia focal del otro foco.
En este problema podemos aplicar la propiedad anterior hallando los simétricos del foco que conoces respecto a las tangentes dadas. Sean P y Q estos puntos simétricos. Por la propiedad enunciada sabemos que P y Q deben estar en la circunferencia focal del otro foco que, como bien sabrás, es la circunferencia con centro en el foco y radio 2a (2a es la medida del eje mayor de la elipse). Para lo que nos interesa, los puntos P y Q deben equidistar del foco F' o, lo que es lo mismo, F' está en la mediatriz de PQ.
Por otra parte, nos dan también la distancia focal, es decir, la distancia que separa F de F'. Esta condición indica que F' estará sobre la circunferencia con centro F y radio igual a la distancia focal. Los puntos de corte de esta circunferencia con la mediatriz del segmento PQ antes trazada determinarán las dos posibles posiciones del foco F'.
Para cada una de las posibles soluciones debes determinar el centro de la elipse (punto medio del segmento FF') y la medida del eje mayor (igual al radio de la circunferencia focal, igual a la distancia de F' a P, igual a la distancia de F' a Q). La circunferencia principal (circunferencia con centro en el centro de la elipse y radio igual a la mitad de la medida del eje mayor) cortará a la recta FF' en los dos extremos del eje mayor de la elipse. Para determinar el eje menor de la misma, trazas la mediatriz del eje mayor y trazas un arco con centro en uno de los focos y radio igual a la mitad del eje mayor, que cortará a la mediatriz del eje mayor en los dos extremos del eje menor de la elipse.
El punto simétrico de un foco con respecto a cualquier tangente está situado sobre la circunferencia focal del otro foco.
En este problema podemos aplicar la propiedad anterior hallando los simétricos del foco que conoces respecto a las tangentes dadas. Sean P y Q estos puntos simétricos. Por la propiedad enunciada sabemos que P y Q deben estar en la circunferencia focal del otro foco que, como bien sabrás, es la circunferencia con centro en el foco y radio 2a (2a es la medida del eje mayor de la elipse). Para lo que nos interesa, los puntos P y Q deben equidistar del foco F' o, lo que es lo mismo, F' está en la mediatriz de PQ.
Por otra parte, nos dan también la distancia focal, es decir, la distancia que separa F de F'. Esta condición indica que F' estará sobre la circunferencia con centro F y radio igual a la distancia focal. Los puntos de corte de esta circunferencia con la mediatriz del segmento PQ antes trazada determinarán las dos posibles posiciones del foco F'.
Para cada una de las posibles soluciones debes determinar el centro de la elipse (punto medio del segmento FF') y la medida del eje mayor (igual al radio de la circunferencia focal, igual a la distancia de F' a P, igual a la distancia de F' a Q). La circunferencia principal (circunferencia con centro en el centro de la elipse y radio igual a la mitad de la medida del eje mayor) cortará a la recta FF' en los dos extremos del eje mayor de la elipse. Para determinar el eje menor de la misma, trazas la mediatriz del eje mayor y trazas un arco con centro en uno de los focos y radio igual a la mitad del eje mayor, que cortará a la mediatriz del eje mayor en los dos extremos del eje menor de la elipse.
