El primer problema puede resolverse aplicando giros.
Sea ABC el triángulo equilátero con A en la circunferencia de 15mm de radio, B en la cirucunferencia de 30mm y C en la de 40mm.
Tomando A arbitrariamente sobre la circunferencia de 15mm se tiene que, por ser el triángulo equilátero, |AB| = |AC| y el ángulo BAC vale 60º. Por lo tanto, puede considerarse que el punto C se obtiene girando el punto B 60º con centro en A.
Así pues, como B está en la circunferencia de 30mm, C estará en la circunferencia que resulta de girar la circunferencia de 30mm 60º con centro en A. Una circunferencia girada es otra circunferencia con el mismo radio de la inicial cuyo centro es el correspondiente a aplicar el giro sobre el centro de la circunferencia inicial.
En otras palabras, debes aplicar un giro de 60º sobre el centro común de las tres circunferencias tomando como centro de giro el punto A que tomaste arbitrariamente y, con centro en el punto girado resultante, dibujas una circunferencia de radio 30mm. La circunferencia anterior cortará a la de radio 40mm en dos puntos que son las dos posibles soluciones para el vértice C.
El vértice B se encuentra trazando un arco con centro en A y radio AC y viendo dónde corta a la circunferencia de radio 30mm.
Espero que la siguiente imagen pueda aclarar el proceso:
