r rb ha

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Existen varias fórmulas útiles que relacionan el inradio y los exradios con las alturas del triángulo (véase http://mathworld.wolfram.com/Altitude.html). Con ayuda de estas fórmulas podemos hallar las alturas hb y hc del triángulo:

1/r - 1/rb = 2/hb --> hb = 2 r rb / (rb-r) [Es una simple cuarta proporcional]
1/hc = 1/r - 1/ha - 1/hb --> hc = r ha hb / (ha hb - r hb - r ha)

Para resolver esta última ecuación:

hc = r ha hb / [ ha hb - r (ha + rb) ]

1Se definen:
x^2 := ha hb (x es media proporcional de ha y hb)
y^2 := r (ha+hb) (y es media proporcional entre r y ha+hb)
z^2 = x^2 - y^2 (z es un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa x y cateto y)

Entonces:
hc = r · ha/z · hb/z (resolver primero v = r · ha/z y luego hc = v · hb/z)


Una vez se tienen las tres alturas ha, hb y hc, es facil hallar los lados a, b y c, teniendo en cuenta que a ha = b hb = c hc = 2S (S es el área del triángulo), lo cual se resuelve aplicando potencia:

1) Dibujar una circunferencia cualquiera de centro O y un punto P exterior a la misma

2) Con centro en P trazar arcos de radios ha, hb y hc, que cortan a la circunferencia O en los puntos U, V y W, respectivamente

3) PU, PV y PW cortan a la circunferencia O en los puntos R, S y T, respectivamente, de forma que las distancias PR, PS y PT son, respectivamente, a', b' y c', proporcionales a a, b y c

4) Dibujar el triángulo de lados a', b' y c', obteniendo todos los ángulos del triángulo ABC

A partir de aquí ya es elemental terminar de resolver el problema

[João Risueño Cruz]

hb = r rb / 2(rb-r)

es imposible que la longitud de hb sea aquella entre los dos puntos negros

[apolonio]

Estaba mal despejado hb en la ecuación planteada; el factor 2 tiene que ir multiplicando en lugar de dividiendo (ya lo he corregido en el post anterior). Por lo tanto, la cuarta proporcional a plantear será:

hb / 2r = rb / (rb-r)

Ahora se ve que hb va a ser claramente mayor que 2r, lo cual sí parece correcto.

[João Risueño Cruz]

genial