punto P
Moderador: vicente
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João Risueño Cruz
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Suponiendo el problema resuelto, sea d la distancia del punto P a la recta r, a la distancia de A a r y b la distancia de B a r. Como d es fijo, hay que minimizar la suma de las distancias AP y BP. Este es un problema sencillo de resolver, ya que no hay más que hallar el simétrico de B, B', con respecto a la paralela a r que pasa por P. El punto P que minimiza las distancias estará situado en la intersección de AB' con la paralela anterior. Esta distancia mínima vale:
AB'^2 = (a + b -2d)^2 + ArBr^2,
donde Ar y Br son las proyecciones ortogonales de A y B sobre r.
Para hallar el valor de d que minimiza AB', se deriva la expresión anterior con respecto a d y se iguala a 0, teniéndose que:
-4 · (a + b -2d) = 0 --> d = (a+b)/2
Según esto, y si he interpretado bien el enunciado (minimizar la suma de distancias PA + PB + dist(P,r)), P debería ser el punto medio de AB, lo cual no se corresponde con la solución ofrecida.
AB'^2 = (a + b -2d)^2 + ArBr^2,
donde Ar y Br son las proyecciones ortogonales de A y B sobre r.
Para hallar el valor de d que minimiza AB', se deriva la expresión anterior con respecto a d y se iguala a 0, teniéndose que:
-4 · (a + b -2d) = 0 --> d = (a+b)/2
Según esto, y si he interpretado bien el enunciado (minimizar la suma de distancias PA + PB + dist(P,r)), P debería ser el punto medio de AB, lo cual no se corresponde con la solución ofrecida.
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João Risueño Cruz
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A ver... He investigado un poquito y esto es lo que he encontrado: en un triángulo acutángulo ABC, el punto P que minimiza la suma de distancias PA+PB+PC es el punto de Fermat (http://faculty.evansville.edu/ck6/tcent ... ermat.html).
El punto de Fermat de un triángulo se obtiene trazando triángulos equiláteros con los lados del triángulo y "hacia fuera". Al unir los vértices de los triángulos equiláteros que no pertenecen al triángulo con los vértices opuestos del triángulo, las tres rectas concurren en el (primer) punto de Fermat.
Si se supone este problema resuelto, y se llama C a la proyección ortogonal del punto P sobre la recta r, entonces P debe ser el punto de Fermat del triángulo ABC, dada su condición de minimizar la suma de distancias a los vértices.
Entonces, si construímos el triángulo equilátero ABC', los puntos C, P y C' deben estar alineados. Puesto que sabemos que CP es perpendicular a r (así se ha definido el vértice C), esto implica que podemos obtener directamente el vértice C como la proyección ortogonal de C' sobre r, sin necesidad de conocer P.
Una vez se tiene C, se trazará, por ejemplo, el triángulo equilátero ACB', y el punto P se determinará como la intersección de BB' con CC'.
El punto de Fermat de un triángulo se obtiene trazando triángulos equiláteros con los lados del triángulo y "hacia fuera". Al unir los vértices de los triángulos equiláteros que no pertenecen al triángulo con los vértices opuestos del triángulo, las tres rectas concurren en el (primer) punto de Fermat.
Si se supone este problema resuelto, y se llama C a la proyección ortogonal del punto P sobre la recta r, entonces P debe ser el punto de Fermat del triángulo ABC, dada su condición de minimizar la suma de distancias a los vértices.
Entonces, si construímos el triángulo equilátero ABC', los puntos C, P y C' deben estar alineados. Puesto que sabemos que CP es perpendicular a r (así se ha definido el vértice C), esto implica que podemos obtener directamente el vértice C como la proyección ortogonal de C' sobre r, sin necesidad de conocer P.
Una vez se tiene C, se trazará, por ejemplo, el triángulo equilátero ACB', y el punto P se determinará como la intersección de BB' con CC'.
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