5 puntos de una hiperbole

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Puede aplicarse el teorema de Brianchon para el caso límite del triángulo circunscrito a una cónica (véase http://garciacapitan.auna.com/bella/htm/brianch.htm), según el cual las rectas que unen los vértices del triángulo circunscrito con los puntos de tangencia del lado opuesto son concurrentes. Obsérvese que las asíntotas de la hipérbola son dos tangentes en los puntos impropios (puntos de la curva situados en el infinito del plano).

Sean A y B los puntos en que la tangente t corta a las dos asíntotas. Para aplicar el teorema de Brianchon, hay que unir A con el punto de tangencia de la otra asíntota (está en el infinito en la dirección de dicha asíntota) y B con el punto de tangencia de la asíntota anterior. Ambas paralelas se cortan en un punto X, que es el punto de concurrencia del que habla el teorema, es decir, el punto de tangencia de la tangente t con la hipérbola estará en la recta CX. Como ACBX es un paralelogramo, el punto de tangencia buscado, T, no es otro que el punto medio de AB.

Los simétricos de T con respecto a los ejes mayor y menor de la hipérbola (bisectrices de los ángulos formados por las asíntotas) y al centro C, dan otros 3 puntos de la hipérbola (por simetría de las ramas).

[João Risueño Cruz]

solo tengo 4 puntos de la hiperbole y necesito 5 puntos para dibujar la hiperbole en el software de geometria dinamica

[apolonio]

De nuevo, los teoremas de Pascal y Brianchon resultan útiles para obtener un quinto punto de la hipérbola. Vamos a aplicar ahora el teorema de Pascal para el caso límite del pentágono inscrito en una cónica, que podría enunciarse como: "En todo pentágono inscrito en una cónica, el punto donde se cortan la tangente por un vértice y el lado opuesto del pentángono está alineado con los dos puntos de intersecciòn de los otros lados no consecutivos." (ver la segunda figura en http://garciacapitan.auna.com/bella/htm/pascal.htm).

En el caso que estamos tratando considérense los siguientes vértices del pentágono: V1 coincidente con T, V2 es el simétrico de T respecto al eje mayor, V3 es un punto a determinar, V4 es el simétrico de T respecto a C y V5 es el simétrico de T respecto al eje mayor.

Dibújese una recta r que pase por V2, en la que va a estar situado V3 (para que r corte a la hipérbola debe quedar "por encima" de la tangente en V2). El lado V2V3 (recta r) corta al lado V5V1 en el punto P. El lado V1V2 corta al lado V4V5 en el punto Q. Según el teorema de Pascal, el lado V3V4 debe cortar a la tangente t en un punto R situado sobre la recta PQ. R estará por lo tanto en la intersección de PQ con t. El vértice V3 será al intersección de r con V4R.

[João Risueño Cruz]

El lado V1V2 corta al lado V4V5 en el punto Q

pero V1V2 y V4V5 no son paralelos ?

[apolonio]

Entonces Q está en el infinito, y la recta PQ es la paralela a V1V2 que pasa por P. Como puedes ver, todos los teoremas de cónicas enunciados para puntos propios son generalizables a puntos impropios.

[João Risueño Cruz]

la hiperbole corta las asintotas, que puedo hacer para construir el 5º punto correcto de la hiperbole ?

[João Risueño Cruz]

deslocando la hipotetica recta V2V3 la hiperbole me queda muy lejos de las asintotas, donde pongo la hipotetica recta V2V3 para determinar el 5º punto de la hiperbole ?