<A BC p
Moderador: vicente
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João Risueño Cruz
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La solución de Latus rectum sí parece correcta, y bastante ingenioso el hacer una construcción de homotecia en los puntos 4, 5 y 6. No obstante, voy a dar otra solución alternativa, basándome en algunas propiedades de la circunferencia inscrita.
Como sabemos, p-a es la distancia del vértice A a los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados b y c. Si partiendo del ángulo A se traza un arco de radio p-a con centro en su vértice, obtendremos los dos puntos de tangencia de la circunferencia inscrita, y trazando sendas perpendiculares por ellos a los lados del ángulo, obtenemos el incentro I en su intersección, y con él el valor del radio de la circunferencia inscrita que utlizaremos más adelante.
La segunda idea es que el ángulo <BIC vale 180º - <B/2 - <C/2 = 180º - /180º - <A)/2 = 90º + <A/2. Por lo tanto, en una figura aparte dibujamos el segmento BC, trazamos el arco capaz del ángulo 90º + <A/2 respecto a dicho segmento y una paralela a BC a una distancia r (el valor del inradio, previamente determinado), que cortará al arco capaz en las dos posibles posiciones del incentro I.
Para finalizar se traza una recta que pase por B y que forme con BI un ángulo igual al ángulo <IBC (es decir, se multiplica por dos el ángulo <IBC), y se hace lo mismo con el vétice C. Ambas rectas se cortarán en el vértice A.
Como sabemos, p-a es la distancia del vértice A a los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados b y c. Si partiendo del ángulo A se traza un arco de radio p-a con centro en su vértice, obtendremos los dos puntos de tangencia de la circunferencia inscrita, y trazando sendas perpendiculares por ellos a los lados del ángulo, obtenemos el incentro I en su intersección, y con él el valor del radio de la circunferencia inscrita que utlizaremos más adelante.
La segunda idea es que el ángulo <BIC vale 180º - <B/2 - <C/2 = 180º - /180º - <A)/2 = 90º + <A/2. Por lo tanto, en una figura aparte dibujamos el segmento BC, trazamos el arco capaz del ángulo 90º + <A/2 respecto a dicho segmento y una paralela a BC a una distancia r (el valor del inradio, previamente determinado), que cortará al arco capaz en las dos posibles posiciones del incentro I.
Para finalizar se traza una recta que pase por B y que forme con BI un ángulo igual al ángulo <IBC (es decir, se multiplica por dos el ángulo <IBC), y se hace lo mismo con el vétice C. Ambas rectas se cortarán en el vértice A.