A sa R
Moderador: vicente
- João Risueño Cruz
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Hace unos días resolvimos el triángulo dados A, a y ta (lo tienes en http://www.dibujotecnico.com/foro/viewtopic.php?t=2416). Pues este problema es prácticamente igual:
-- Con A y R puedes obtener fácilmente a: dibujas una circunferencia de radio R e inscribes un ángulo A; los exteremos del ángulo formarán un segmento de longitud a.
-- El punto X donde la bisectriz externa del ángulo A corta a la mediatriz del lado a, también es un punto de la circunferencia circunscrita. Visto al revés, el punto X donde la mediatriz del lado a corta a la circunferencia circunscrita es un punto de la bisectriz exterior del ángulo A.
Puedes resolver de la siguiente forma:
1) Obtienes el valor del lado a como se ha comentado
2) Dibujas el segmento BC, de longitud a, y trazas su mediatriz
3) Con centros en B y C trazas arcos de radio R, que se cortarán en el circuncentro O
4) Trazas la circunferencia circunscrita, que corta a la mediatriz del segmento BC en un punto X (toma el punto que esté más alejado del lado BC)
5) Considera la inversión de centro X y puntos dobles B y C, que transformará la circunferencia circusncrita en el lado BC y viceversa; halla un par de puntos inversos P-P' (trazando una recta cualquiera que pase por X, los puntos P y P' serán la intersección de dicha recta con la circunferencia circunscrita y el lado BC, respectivamente)
6) Halla la potencia de inversión K, siendo K^2 = XP · XP' (K es la media proporcional de XP y XP')
7) Como debe ser XA · XSa = K^2 = XA · (XA + ASa) = XA^2 + XA · ASa = (XA + ASa/2)^2 - (ASa/2)^2, entonces el valor XA buscado será la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos K y sa, sumando sa/2
-- Con A y R puedes obtener fácilmente a: dibujas una circunferencia de radio R e inscribes un ángulo A; los exteremos del ángulo formarán un segmento de longitud a.
-- El punto X donde la bisectriz externa del ángulo A corta a la mediatriz del lado a, también es un punto de la circunferencia circunscrita. Visto al revés, el punto X donde la mediatriz del lado a corta a la circunferencia circunscrita es un punto de la bisectriz exterior del ángulo A.
Puedes resolver de la siguiente forma:
1) Obtienes el valor del lado a como se ha comentado
2) Dibujas el segmento BC, de longitud a, y trazas su mediatriz
3) Con centros en B y C trazas arcos de radio R, que se cortarán en el circuncentro O
4) Trazas la circunferencia circunscrita, que corta a la mediatriz del segmento BC en un punto X (toma el punto que esté más alejado del lado BC)
5) Considera la inversión de centro X y puntos dobles B y C, que transformará la circunferencia circusncrita en el lado BC y viceversa; halla un par de puntos inversos P-P' (trazando una recta cualquiera que pase por X, los puntos P y P' serán la intersección de dicha recta con la circunferencia circunscrita y el lado BC, respectivamente)
6) Halla la potencia de inversión K, siendo K^2 = XP · XP' (K es la media proporcional de XP y XP')
7) Como debe ser XA · XSa = K^2 = XA · (XA + ASa) = XA^2 + XA · ASa = (XA + ASa/2)^2 - (ASa/2)^2, entonces el valor XA buscado será la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos K y sa, sumando sa/2
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XA es el segmento de extremos X y A. A es el vértice del triángulo dado y X es el punto donde la mediatriz del lado a corta a la circunferencia circunscrita (que sabemos que también es un punto de la bisectriz externa del ángulo Â).
Se entiende que al inicio del problema se han dibujado el segmento BC, la circunferencia circunscirta y el punto X. De esta forma, una vez hallado el valor del segmento XA como se explica el problema queda resuelto, ya que no hay más que trazar un arco de centro X y radio XA que cortará a la circunferencia circunscrita en el vértice A.
Se entiende que al inicio del problema se han dibujado el segmento BC, la circunferencia circunscirta y el punto X. De esta forma, una vez hallado el valor del segmento XA como se explica el problema queda resuelto, ya que no hay más que trazar un arco de centro X y radio XA que cortará a la circunferencia circunscrita en el vértice A.
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La mediatriz del segmento BC corta a la circunferencia circunscrita en dos puntos X e Y. Supongamos que X es el punto más alejado de BC e Y el más cercano; entonces la bisectriz exterior del ángulo <A pasará por X y la bisectriz interior pasará por Y. En este caso estamos hablando de la bisectriz exterior, así que asegúrate de tomar el punto de corte de la mediatriz de BC con la circunferencia circunscrita más alejado de BC.
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Perdona por hacerte dibujar tantas veces este ejercicio, debido a una confusión mía.
Creo que esta es la versión definitiva: el segmento XA se halla como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos K y sa/2, restando sa/2.
Por cierto, si te das cuenta K = XB = XC, ya que B y C son puntos dobles de la inversión, lo que puede facilitar la resolución.
Creo que esta es la versión definitiva: el segmento XA se halla como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos K y sa/2, restando sa/2.
Por cierto, si te das cuenta K = XB = XC, ya que B y C son puntos dobles de la inversión, lo que puede facilitar la resolución.
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