circulos
Moderador: vicente
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João Risueño Cruz
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- Registrado: Jue Ago 02, 2007 11:01 pm
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Sean c1 y c2 las circunferencias buscadas, con centros O1 y O2, respectivamente. Sea t una recta tangente común de ambas circunferencias que pasa por O. Sean T1 y T2 los puntos de tangencia respectivos de la tantente anterior. Sea P el punto de intersección de t con r.
Como los triángulos O1OT1 y O2OT2 son semejantes, entonces se tiene que:
OT1 / OT2 = r1/r2
Reescribimos la relación anterior como:
(PT1 - OP) · r2 = (PT2 + OP) · r1
Al ser P un punto del eje radical, será PT1 = PT2, y llevando esto a la expresión anterior se obtiene:
(PT1 - OP) · r2 = (PT1 + OP) · r1
--> PT1 (r2-r1) = OP (r1+r2)
--> PT1 = OP (r1+r2) / (r2-r1)
que se resuelve mediante una construcción de cuarta proporcional.
Una vez resuelto PT1 hallaremos OT1 = PT1 - OP y OT2 = PT1 + OP. A continuación se halla OO1 como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos r1 y OT1, y OO2 como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos r2 y OT2.
Finalmente se traza la perpendicular a r por el punto O, y se trazan con centro en O arcos de radios OO1 y OO2, cortando a la perpendicular anterior en los centros O1 y O2, respectivamente.
Como los triángulos O1OT1 y O2OT2 son semejantes, entonces se tiene que:
OT1 / OT2 = r1/r2
Reescribimos la relación anterior como:
(PT1 - OP) · r2 = (PT2 + OP) · r1
Al ser P un punto del eje radical, será PT1 = PT2, y llevando esto a la expresión anterior se obtiene:
(PT1 - OP) · r2 = (PT1 + OP) · r1
--> PT1 (r2-r1) = OP (r1+r2)
--> PT1 = OP (r1+r2) / (r2-r1)
que se resuelve mediante una construcción de cuarta proporcional.
Una vez resuelto PT1 hallaremos OT1 = PT1 - OP y OT2 = PT1 + OP. A continuación se halla OO1 como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos r1 y OT1, y OO2 como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos r2 y OT2.
Finalmente se traza la perpendicular a r por el punto O, y se trazan con centro en O arcos de radios OO1 y OO2, cortando a la perpendicular anterior en los centros O1 y O2, respectivamente.