problema 382 de Petersen
Moderador: vicente
- João Risueño Cruz
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Veamos primero algunos conceptos previos tal y como los define Petersen:
i) Dadas dos curvas a y b semejantes entre sí (pueden ser dos circunferencias, dos rectas, dos polígonos semejantes, etc.) siempre será posible encontrar una rotación que trasnforme a en b. El centro de dicha rotación se define como el centro de rotación de las dos curvas.
ii) Dadas tres curvas a, b y c mutuamente semejantes, en ocasiones es posible encontrar una rotación de centro O que transforme a en b y otra rotación con el mismo centro O que transforme b en c. En este caso, existirá una tercera rotación con el mismo centro O que transforme directamente a en c. El centro O se conoce como centro de rotación del sistema de tres curvas.
iii) En el caso de tener dos circunferencias a y b, el centro de rotación está indeterminado: es posible encontrar múltiples centros de rotación O tales que, para determinados valores del ángulo y la razón de rotación, la rotación asi definida transforme a en b. En cualquier caso, como los centros Oa y Ob de ambas circunferencias serán homólogos entre sí en la rotación definida, el cociente de distancias OOa/OOb será igual a la razón de rotación y, por lo tanto, también coincidirá con la relación de radios ra/rb. Esto implica que el lugar geométrico para el centro de rotación de las dos circunferencias debe ser la circunferencia de apolonio para el segmento OaOb y la relación ra/rb (ya se ha hablado en ocasiones anteriores de las circunferencias de Apolonio y de como determinarlas)
iv) En el caso de tener tres circunferencias a, b y c, siempre existirá un centro de rotación de las tres circunferencias, siendo éste el punto de intersección de las tres circunferencias de Apolonio que se han descrito en el punto anterior
v) Una vez encontrado el centro de rotación común de tres circunferencias a, b y c, si se toma un punto A sobre la circunferencia a, es fácil encontrar los puntos B y C sobre las circunferencias B y C, respectivamente, que sean homólogos de A en las rotaciones definidas por el centro de rotación hallado. Cualquiera que sea el punto A que se tome inicialmente sobre la circunferencia a, el triángulo ABC obtenido será siempre semejante al triángulo OaObOc.
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Teniendo en cuenta todo lo anterior, Petersen propone la siguiente resolución para el problema planteado: si se busca el centro de rotación O común a las tres circunferencias dadas (como intersección de las respectivas circunferencias de Apolonio), entonces el triángulo buscado puede obtenerse como un giro del triángulo ABC con centro en O (no habrá más que trazar los arcos con centro en O que pasen por A, B y C, que cortarán a las respectivas circunferencias en los vértices del triángulo buscado)
i) Dadas dos curvas a y b semejantes entre sí (pueden ser dos circunferencias, dos rectas, dos polígonos semejantes, etc.) siempre será posible encontrar una rotación que trasnforme a en b. El centro de dicha rotación se define como el centro de rotación de las dos curvas.
ii) Dadas tres curvas a, b y c mutuamente semejantes, en ocasiones es posible encontrar una rotación de centro O que transforme a en b y otra rotación con el mismo centro O que transforme b en c. En este caso, existirá una tercera rotación con el mismo centro O que transforme directamente a en c. El centro O se conoce como centro de rotación del sistema de tres curvas.
iii) En el caso de tener dos circunferencias a y b, el centro de rotación está indeterminado: es posible encontrar múltiples centros de rotación O tales que, para determinados valores del ángulo y la razón de rotación, la rotación asi definida transforme a en b. En cualquier caso, como los centros Oa y Ob de ambas circunferencias serán homólogos entre sí en la rotación definida, el cociente de distancias OOa/OOb será igual a la razón de rotación y, por lo tanto, también coincidirá con la relación de radios ra/rb. Esto implica que el lugar geométrico para el centro de rotación de las dos circunferencias debe ser la circunferencia de apolonio para el segmento OaOb y la relación ra/rb (ya se ha hablado en ocasiones anteriores de las circunferencias de Apolonio y de como determinarlas)
iv) En el caso de tener tres circunferencias a, b y c, siempre existirá un centro de rotación de las tres circunferencias, siendo éste el punto de intersección de las tres circunferencias de Apolonio que se han descrito en el punto anterior
v) Una vez encontrado el centro de rotación común de tres circunferencias a, b y c, si se toma un punto A sobre la circunferencia a, es fácil encontrar los puntos B y C sobre las circunferencias B y C, respectivamente, que sean homólogos de A en las rotaciones definidas por el centro de rotación hallado. Cualquiera que sea el punto A que se tome inicialmente sobre la circunferencia a, el triángulo ABC obtenido será siempre semejante al triángulo OaObOc.
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Teniendo en cuenta todo lo anterior, Petersen propone la siguiente resolución para el problema planteado: si se busca el centro de rotación O común a las tres circunferencias dadas (como intersección de las respectivas circunferencias de Apolonio), entonces el triángulo buscado puede obtenerse como un giro del triángulo ABC con centro en O (no habrá más que trazar los arcos con centro en O que pasen por A, B y C, que cortarán a las respectivas circunferencias en los vértices del triángulo buscado)
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Lo primero es buscar un punto P tal que AP/BP = ra/rb. Por ejemplo, podemos determinar P como la intersección del arco de centro A y radio 3·ra con el arco de centro B y radio igual a 3·rb (he puesto radios 3·ra y 3·rb, porque así a ojo parece que con radios 2·ra y 2·rb los arcos no se van a cortar). A continuación, trazas las dos bisectrices del ángulo <APB, tanto la interna como la externa, que cortarán a la recta AB en los puntos M y N, respecetivamente. La circunferencia de diámetro MN es la circunferencia de Apolonio buscada, y es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano tales que AP/BP = ra/rb.
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