LG del examen de Itália en 2007
Moderador: vicente
- João Risueño Cruz
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Bonito problema que se resuelve facilmente aplicando algunas ideas:
- La recta AB es un eje de simetría del problema, y por lo tanto es la recta soporte del eje mayor de la hipérbola.
- Si intercambiamos los papeles de A y B (en A el ángulo x y en B el ángulo 2x) obtendremos la otra rama de la hipérbola, luego el centro de la hipérbola está en el punto medio de AB.
- El vértice C estará en el infinito cuando las rectas AC y BC sean paralelas, para lo que tiene que suceder que x = 180º - 2x, lo que nos lleva a x = 60º. Las asíntota de la hipérbola pasan por el punto medio de AB y forman 60º con AB.
- Por el teorema de los senos: AC / senx = BC / sen2x --> AC sen2x = BC senx --> 2 · AC · cosx = BC. C estará situado sobre la recta AB cuando x valga 0º, y en este caso será AC + BC = AB. Por lo tanto, para x=0º: 2 · AC = AB - AC --> AC = AB / 3 => Para obtener el vértice de la hipérbola hay que dividir el segmento AB en tres partes iguales, estando el vértice situado sobre la primera división.
- La recta AB es un eje de simetría del problema, y por lo tanto es la recta soporte del eje mayor de la hipérbola.
- Si intercambiamos los papeles de A y B (en A el ángulo x y en B el ángulo 2x) obtendremos la otra rama de la hipérbola, luego el centro de la hipérbola está en el punto medio de AB.
- El vértice C estará en el infinito cuando las rectas AC y BC sean paralelas, para lo que tiene que suceder que x = 180º - 2x, lo que nos lleva a x = 60º. Las asíntota de la hipérbola pasan por el punto medio de AB y forman 60º con AB.
- Por el teorema de los senos: AC / senx = BC / sen2x --> AC sen2x = BC senx --> 2 · AC · cosx = BC. C estará situado sobre la recta AB cuando x valga 0º, y en este caso será AC + BC = AB. Por lo tanto, para x=0º: 2 · AC = AB - AC --> AC = AB / 3 => Para obtener el vértice de la hipérbola hay que dividir el segmento AB en tres partes iguales, estando el vértice situado sobre la primera división.
- João Risueño Cruz
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