problema 354 de Julius Petersen

[João Risueño Cruz]

http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF37264581

[apolonio]

He estado leyendo el método que propone Petersen, y lo resumo aquí.

El método en cuestión es el que describe en el tercer capítulo de su libro "Métodos y teorías para la resolución de problemas geométricos", y que titula "Teoría de la rotación". Petersen define una operación en el plano denominada "Rotación" como la composición de un giro de centro O y ángulo v, seguido de una homotecia de centro en el mismo punto O y razón f.

Al aplicar una rotación a una curva k cualquiera del plano, se obtiene una nueva curva K que es semejante a la inicial. Dados dos puntos a y b sobre la curva k, y sus homólogos A y B sobre la curva K, los triángulos aOA y bOB son semejantes, cualesquiera sean los puntos a y b escogidos. Esto se debe a que se conservan el ángulo de rotación <aOA=<bOB=v y la razón de rotación aO/AO=bO/BO=f.

Como aplicación práctica, la teoría de rotación permite resolver el siguiente problema general: Obtener un triángulo semejante a otro triángulo ABC dado, de manera que el vértice correspondiente a A coincida con un punto P dado y los otros dos vértices correspondientes a B y C estén sobre dos curvas c1 y c2 dadas. Aplicando la teoría de la rotación, este problema general se resuelve así: sea una rotación definida tomando como centro de rotación O el punto P dado, como ángulo de rotación el ángulo <BAC, y como razón de rotación la razón AB/AC. De esta forma, si el triángulo que se desea obtener es PB'C', entonces el punto C' puede verse como el resultado de aplicar la rotación anterior al punto B'. Si se aplica dicha rotación sobre la curva c1 (lugar geométrico del punto B') se obtendrá una nueva curva rotada c1'. El vértice C' buscado tendrá que estar en la intersección de c1' con c2.

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Veamos cómo aplicarlo a este problema particular. En este problema, el punto B puede verse como el resultado de aplicar sobre A una rotación de centro P, ángulo <APB y razón PA/PB. Como tanto A como B deben estar situados sobre la circunferencia de centro O, el punto B puede obtenerse como la intersección de la circunferencia de centro O con la circunferencia resultante de aplicar a ésta la rotación antes descrita.

La curva resultante de aplicar una rotación a una circunferencia dada es otra circunferencia cuyo centro es el resultado de rotar el centro de la circunferencia inicial. El radio de la circunferencia rotada puede hallarse facilmente rotando uno cualquiera de los puntos de la circunferencia inicial.

Por lo tanto, los pasos son los siguientes:

1) Trazar por P una recta que forme el ángulo <APB con la recta OP

2) Trazar un arco con centro P y radio AP que corte a OP en un punto M

3) Trazar un arco con centro P y radio BP que corte a la recta dibujada en el primer paso en un punto N

4) Trazar la paralela a MN pasando por O, que corta a la recta dibujada en el primer paso en el punto O', que es el homólogo de O en la rotación descrita

5) Tomar un punto cualquiera C de la circunferencia, y repetir los pasos 1 a 4 tomando C en lugar de O, de forma que se halle el homólogo de C, C', en la rotación

6) Dibujar la circunferencia de centro O' que pasa por C', que cortará a la circunferencia inicial de centro O en el vértice B (dos soluciones posibles)

7) Para cada solución hallada del vértice B, dibujar una recta que pase por P y forme con BP el ángulo <BAP, que cortará a la circunferencia inicial en el vértice A

[João Risueño Cruz]