recta

Cuestiones relativas a los trazados en el plano

Moderador: vicente

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João Risueño Cruz
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Mensaje por João Risueño Cruz »

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apolonio
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Mensaje por apolonio »

Aplicando el teorema del seno a los triángulos AOB y BOC:

AB / sen (<AOB) = OB / sen(<OAB) --> AB sen(<OAB) = OB sen(<AOB)

BC / sen (<BOC) = OB / sen(<OCB) --> BC sen (<OCB) = OB sen(<BOC) --> BC sen (180º - <AOC - <OAB) = OB sen(<BOC) --> BC sen (<AOC + <OAB) = OB sen(<BOC) --> BC sen(<AOC) cos(<OAB) + BC cos(<AOC) sen(<OAB) = OB sen(<BOC)

Hay que resolver el sistema de ecuaciones anterior, en el que las dos incógnitas son el semento OB y el ángulo <OAB, marcados en negrita.

Elevando al cuadrado la segunda ecuación y operando:

BC sen(<AOC) cos(<OAB) = OB sen(<BOC) - BC cos(<AOC) sen(<OAB)

BC^2 sen^2(<AOC) [1 - sen^2(<OAB)] = OB^2 sen^2(<BOC) - 2 OB BC sen(<BOC) cos(<AOC) sen(<OAB) + BC^2 cos^2(<AOC) sen^2(<OAB)

De la primera ecuación, se tiene que sen(<OAB) = OB sen(<AOB) / AB, que sustituído en la ecuación anterior resulta:

BC^2 sen^2(<AOC) - BC^2 sen^2(<AOC) OB^2 sen^2(<AOB) / AB^2 = OB^2 sen^2(<BOC) - 2 OB^2 BC sen(<BOC) cos(<AOC) sen(<AOB) / AB + BC^2 OB^2 cos^2(<AOC) sen^2(<AOB) / AB^2

AB^2 BC^2 sen^2(<AOC) - BC^2 sen^2(<AOC) sen^2(<AOB) OB^2 = AB^2 sen^2(<BOC) OB^2 - 2 AB BC sen(<BOC) cos(<AOC) sen(<AOB) OB^2 + BC^2 cos^2(<AOC) sen^2(<AOB) OB^2

OB^2 = AB^2 BC^2 sen^2(<AOC) / [ BC^2 sen^2(<AOC) sen^2(<AOB) + AB^2 sen^2(<BOC) - 2 AB BC sen(<BOC) cos(<AOC) sen(<AOB) + BC^2 cos^2(<AOC) sen^2(<AOB) ]

Sean U := BC sen(<AOB) sen(<AOC), V := AB sen(<BOC), W^2 := V· [BC cos(<AOC)]; X := raiz(2) · W; Y := BC cos(<AOC) sen(<AOB); Z^2 := [AB sen(<AOC)] BC; R^2 := U^2 + V^2; S^2 = Y^2 - X^2; y T^2 := R^2 + S^2

La ecuación anterior quedaría:

OB^2 = Z^4 / T^2 --> OB · T = Z^2,

de donde se obtendrá el valor de OB

A continuación se obtiene el valor de <OAB resolviendo AB sen(<OAB) = OB sen(<AOB).

Por último, se obtiene <OBA = 180º - <AOB - <OAB, y se dibuja pasando por B la recta pedida, formando este ángulo con OB
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