triangulo isosceles

Cuestiones relativas a los trazados en el plano

Moderador: vicente

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João Risueño Cruz
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triangulo isosceles

Mensaje por João Risueño Cruz »

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:(
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apolonio
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Mensaje por apolonio »

Aplicando el teorema del coseno al triángulo OCA:

R^2 = AC^2 + OC^2 - 2 OC AC cos(<OCA) (R es el radio de la circunferencia)

2 OC AC cos(<OCA) = (OC^2 - R^2) + AC^2 = X^2 + AC^2 (donde X^2 = OC^2 - R^2 es el cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa OC y cateto R)

Elevando al cuadrado:

4 OC^2 AC^2 cos^2(<OCA) = X^4 + 2 X^2 AC^2 + AC^4
4 OC^2 AC^2 [1 - sen^2(<OCA)] = X^4 + 2 X^2 AC^2 + AC^4
4 OC^2 AC^2 sen^2(<OCA) = 4 OC^2 AC^2 - X^4 - 2 X^2 AC^2 - AC^4

El área del triángulo OCA vale:

OC AC sen(<OCA) / 2

Con lo que el área del triángulo ABC debe valer:

S = OC AC sen(<OCA)

Volviendo a la ecuación anterior tenemos que:

4 S^2 = 4 OC^2 AC^2 - X^4 - 2 X^2 AC^2 - AC^4 = 2 AC^2 (2 OC^2 - X^2) - AC^4 - X^4

Derivando con respecto a AC e igualando a 0 para hallar el máximo:

4 (2 OC^2 - X^2) AC - 4 AC^3 = 0
AC^2 = 2 OC^2 - X^2 = (OC·raiz(2))^2 - X^2


Procedimiento:

1) Dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa OC y cateto R

2) Construir un cuadrado de lado igual a OC

3) Dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a la diagonal del cuadrado anterior y cateto igual al otro cateto del triángulo rectángulo dibujado en el primer paso

4) Con centro en C trazar un arco de radio igual al otro cateto del triángulo rectángulo anterior, que corta a la circunferencia en los vértices A y B
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João Risueño Cruz
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Mensaje por João Risueño Cruz »

OC es más pequeño que R como puede ser OC hipotenusa y R cateto ?
Muchas Gracias
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apolonio
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Mensaje por apolonio »

Me había olvidado de mirar cuál de los dos era más pequeño. En ese caso, podemos tratar de reorganizar los términos y dar un nuevo procedimiento. Veamos...

Teníamos la siguiente ecuación:

2 OC AC cos(<OCA) = OC^2 - R^2 + AC^2

Cambiando todo de signo:

- 2 OC AC cos(<OCA) = (R^2 - OC^2) - AC^2

donde ahora es X^2 := R^2 - OC^2 (ahora sí, R es hipotenusa y OC cateto).

Como antes, elevamos al cuadrado obtenidendo:

4 OC^2 AC^2 [1 - sen^2(<OCA)] = X^4 - 2 X^2 AC^2 + AC^4

4 OC^2 AC^2 sen^2(<OCA) = 4 OC^2 AC^2 - X^4 + 2 X^2 AC^2 - AC^4

4 S^2 = 2 AC^2 (2 OC^2 + X^2) - AC^4 - X^4, con S el área del triángulo

Derivando respecto a AC e igualando a cero:

4 (2 OC^2 + X^2) AC - 4 AC^3 = 0
AC^2 = 2 OC^2 + X^2 = (OC·raiz(2))^2 + X^2

Como vemos, sólo nos cambia la definición de X y un signo. Este es el nuevo procedimiento:

1) Dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa R y cateto OC

2) Construir un cuadrado de lado igual a OC

3) Dibujar un triángulo rectángulo con un cateto igual a la diagonal del cuadrado anterior y otro cateto igual al otro cateto del triángulo rectángulo dibujado en el primer paso

4) Con centro en C trazar un arco de radio igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo anterior, que corta a la circunferencia en los vértices A y B
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João Risueño Cruz
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Mensaje por João Risueño Cruz »

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muy lejos

:(
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apolonio
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Mensaje por apolonio »

Vuelvo a empezar desde el pricipio porque había un error muy grande en el procedimiento :?


Si M es el punto medio de AB, el área del triángulo isósceles ABC debe ser dos veces el área del triángulo rectángulo AMC, es decir:

S = AM · MC = [R sen(<OMA)] · [R cos(<OMA) + OC] (R es el radio de la circunferencia)

Derivándolo en función de <OMA e igualando a cero para hallar el máximo valor posible del área:


[R cos(<OMA)] · [R cos(<OMA) + OC] - [R sen(<OMA)] · [R sen(<OMA> R^2 cos^2(<OMA) + R OC cos(<OMA) - R^2 [1 - cos^2(<OMA)] = 2 R^2 cos^2(<OMA) + R OC cos(<OMA> [R cos(<OMA)] · [R cos(<OMA> OM · (OM + OC/2) = [R/raiz(2)]^2


Procedimiento:

1) Sea N el punto medio de OC y P el punto medio de ON; dibujar la circunferencia de centro P que pasa por O y N

2) Trazar la perpendicular a OC que pasa por O, que corta a la circunferencia inicial en un punto Q

3) Sea S el punto medio de OQ; trazar la perpendicular a OQ por S (mediatriz de OQ)

4) Con centro en S, trazar un arco que pase por O, cortando a la perpendicular anterior en un punto T

5) Con centro en O, trazar un arco que pase por T, cortando a OQ en un punto U

6) Con centro en P, trazar un arco que pase por U, cortando a la prolongación de OC en el punto M

7) Trazar la perpendicular a OC por M, cortando a la circunferencia en los vértices A y B buscados
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João Risueño Cruz
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ok problema resuelto

Mensaje por João Risueño Cruz »

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genial

:wink:
Muchas Gracias
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