triangulo isosceles
Moderador: vicente
- João Risueño Cruz
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Aplicando el teorema del coseno al triángulo OCA:
R^2 = AC^2 + OC^2 - 2 OC AC cos(<OCA) (R es el radio de la circunferencia)
2 OC AC cos(<OCA) = (OC^2 - R^2) + AC^2 = X^2 + AC^2 (donde X^2 = OC^2 - R^2 es el cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa OC y cateto R)
Elevando al cuadrado:
4 OC^2 AC^2 cos^2(<OCA) = X^4 + 2 X^2 AC^2 + AC^4
4 OC^2 AC^2 [1 - sen^2(<OCA)] = X^4 + 2 X^2 AC^2 + AC^4
4 OC^2 AC^2 sen^2(<OCA) = 4 OC^2 AC^2 - X^4 - 2 X^2 AC^2 - AC^4
El área del triángulo OCA vale:
OC AC sen(<OCA) / 2
Con lo que el área del triángulo ABC debe valer:
S = OC AC sen(<OCA)
Volviendo a la ecuación anterior tenemos que:
4 S^2 = 4 OC^2 AC^2 - X^4 - 2 X^2 AC^2 - AC^4 = 2 AC^2 (2 OC^2 - X^2) - AC^4 - X^4
Derivando con respecto a AC e igualando a 0 para hallar el máximo:
4 (2 OC^2 - X^2) AC - 4 AC^3 = 0
AC^2 = 2 OC^2 - X^2 = (OC·raiz(2))^2 - X^2
Procedimiento:
1) Dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa OC y cateto R
2) Construir un cuadrado de lado igual a OC
3) Dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a la diagonal del cuadrado anterior y cateto igual al otro cateto del triángulo rectángulo dibujado en el primer paso
4) Con centro en C trazar un arco de radio igual al otro cateto del triángulo rectángulo anterior, que corta a la circunferencia en los vértices A y B
R^2 = AC^2 + OC^2 - 2 OC AC cos(<OCA) (R es el radio de la circunferencia)
2 OC AC cos(<OCA) = (OC^2 - R^2) + AC^2 = X^2 + AC^2 (donde X^2 = OC^2 - R^2 es el cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa OC y cateto R)
Elevando al cuadrado:
4 OC^2 AC^2 cos^2(<OCA) = X^4 + 2 X^2 AC^2 + AC^4
4 OC^2 AC^2 [1 - sen^2(<OCA)] = X^4 + 2 X^2 AC^2 + AC^4
4 OC^2 AC^2 sen^2(<OCA) = 4 OC^2 AC^2 - X^4 - 2 X^2 AC^2 - AC^4
El área del triángulo OCA vale:
OC AC sen(<OCA) / 2
Con lo que el área del triángulo ABC debe valer:
S = OC AC sen(<OCA)
Volviendo a la ecuación anterior tenemos que:
4 S^2 = 4 OC^2 AC^2 - X^4 - 2 X^2 AC^2 - AC^4 = 2 AC^2 (2 OC^2 - X^2) - AC^4 - X^4
Derivando con respecto a AC e igualando a 0 para hallar el máximo:
4 (2 OC^2 - X^2) AC - 4 AC^3 = 0
AC^2 = 2 OC^2 - X^2 = (OC·raiz(2))^2 - X^2
Procedimiento:
1) Dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa OC y cateto R
2) Construir un cuadrado de lado igual a OC
3) Dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a la diagonal del cuadrado anterior y cateto igual al otro cateto del triángulo rectángulo dibujado en el primer paso
4) Con centro en C trazar un arco de radio igual al otro cateto del triángulo rectángulo anterior, que corta a la circunferencia en los vértices A y B
- João Risueño Cruz
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Me había olvidado de mirar cuál de los dos era más pequeño. En ese caso, podemos tratar de reorganizar los términos y dar un nuevo procedimiento. Veamos...
Teníamos la siguiente ecuación:
2 OC AC cos(<OCA) = OC^2 - R^2 + AC^2
Cambiando todo de signo:
- 2 OC AC cos(<OCA) = (R^2 - OC^2) - AC^2
donde ahora es X^2 := R^2 - OC^2 (ahora sí, R es hipotenusa y OC cateto).
Como antes, elevamos al cuadrado obtenidendo:
4 OC^2 AC^2 [1 - sen^2(<OCA)] = X^4 - 2 X^2 AC^2 + AC^4
4 OC^2 AC^2 sen^2(<OCA) = 4 OC^2 AC^2 - X^4 + 2 X^2 AC^2 - AC^4
4 S^2 = 2 AC^2 (2 OC^2 + X^2) - AC^4 - X^4, con S el área del triángulo
Derivando respecto a AC e igualando a cero:
4 (2 OC^2 + X^2) AC - 4 AC^3 = 0
AC^2 = 2 OC^2 + X^2 = (OC·raiz(2))^2 + X^2
Como vemos, sólo nos cambia la definición de X y un signo. Este es el nuevo procedimiento:
1) Dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa R y cateto OC
2) Construir un cuadrado de lado igual a OC
3) Dibujar un triángulo rectángulo con un cateto igual a la diagonal del cuadrado anterior y otro cateto igual al otro cateto del triángulo rectángulo dibujado en el primer paso
4) Con centro en C trazar un arco de radio igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo anterior, que corta a la circunferencia en los vértices A y B
Teníamos la siguiente ecuación:
2 OC AC cos(<OCA) = OC^2 - R^2 + AC^2
Cambiando todo de signo:
- 2 OC AC cos(<OCA) = (R^2 - OC^2) - AC^2
donde ahora es X^2 := R^2 - OC^2 (ahora sí, R es hipotenusa y OC cateto).
Como antes, elevamos al cuadrado obtenidendo:
4 OC^2 AC^2 [1 - sen^2(<OCA)] = X^4 - 2 X^2 AC^2 + AC^4
4 OC^2 AC^2 sen^2(<OCA) = 4 OC^2 AC^2 - X^4 + 2 X^2 AC^2 - AC^4
4 S^2 = 2 AC^2 (2 OC^2 + X^2) - AC^4 - X^4, con S el área del triángulo
Derivando respecto a AC e igualando a cero:
4 (2 OC^2 + X^2) AC - 4 AC^3 = 0
AC^2 = 2 OC^2 + X^2 = (OC·raiz(2))^2 + X^2
Como vemos, sólo nos cambia la definición de X y un signo. Este es el nuevo procedimiento:
1) Dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa R y cateto OC
2) Construir un cuadrado de lado igual a OC
3) Dibujar un triángulo rectángulo con un cateto igual a la diagonal del cuadrado anterior y otro cateto igual al otro cateto del triángulo rectángulo dibujado en el primer paso
4) Con centro en C trazar un arco de radio igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo anterior, que corta a la circunferencia en los vértices A y B
- João Risueño Cruz
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Vuelvo a empezar desde el pricipio porque había un error muy grande en el procedimiento
Si M es el punto medio de AB, el área del triángulo isósceles ABC debe ser dos veces el área del triángulo rectángulo AMC, es decir:
S = AM · MC = [R sen(<OMA)] · [R cos(<OMA) + OC] (R es el radio de la circunferencia)
Derivándolo en función de <OMA e igualando a cero para hallar el máximo valor posible del área:
[R cos(<OMA)] · [R cos(<OMA) + OC] - [R sen(<OMA)] · [R sen(<OMA> R^2 cos^2(<OMA) + R OC cos(<OMA) - R^2 [1 - cos^2(<OMA)] = 2 R^2 cos^2(<OMA) + R OC cos(<OMA> [R cos(<OMA)] · [R cos(<OMA> OM · (OM + OC/2) = [R/raiz(2)]^2
Procedimiento:
1) Sea N el punto medio de OC y P el punto medio de ON; dibujar la circunferencia de centro P que pasa por O y N
2) Trazar la perpendicular a OC que pasa por O, que corta a la circunferencia inicial en un punto Q
3) Sea S el punto medio de OQ; trazar la perpendicular a OQ por S (mediatriz de OQ)
4) Con centro en S, trazar un arco que pase por O, cortando a la perpendicular anterior en un punto T
5) Con centro en O, trazar un arco que pase por T, cortando a OQ en un punto U
6) Con centro en P, trazar un arco que pase por U, cortando a la prolongación de OC en el punto M
7) Trazar la perpendicular a OC por M, cortando a la circunferencia en los vértices A y B buscados
Si M es el punto medio de AB, el área del triángulo isósceles ABC debe ser dos veces el área del triángulo rectángulo AMC, es decir:
S = AM · MC = [R sen(<OMA)] · [R cos(<OMA) + OC] (R es el radio de la circunferencia)
Derivándolo en función de <OMA e igualando a cero para hallar el máximo valor posible del área:
[R cos(<OMA)] · [R cos(<OMA) + OC] - [R sen(<OMA)] · [R sen(<OMA> R^2 cos^2(<OMA) + R OC cos(<OMA) - R^2 [1 - cos^2(<OMA)] = 2 R^2 cos^2(<OMA) + R OC cos(<OMA> [R cos(<OMA)] · [R cos(<OMA> OM · (OM + OC/2) = [R/raiz(2)]^2
Procedimiento:
1) Sea N el punto medio de OC y P el punto medio de ON; dibujar la circunferencia de centro P que pasa por O y N
2) Trazar la perpendicular a OC que pasa por O, que corta a la circunferencia inicial en un punto Q
3) Sea S el punto medio de OQ; trazar la perpendicular a OQ por S (mediatriz de OQ)
4) Con centro en S, trazar un arco que pase por O, cortando a la perpendicular anterior en un punto T
5) Con centro en O, trazar un arco que pase por T, cortando a OQ en un punto U
6) Con centro en P, trazar un arco que pase por U, cortando a la prolongación de OC en el punto M
7) Trazar la perpendicular a OC por M, cortando a la circunferencia en los vértices A y B buscados
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