Lugar geometrico

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Sea x la distancia de P a la recta AB, y la distancia de P a la recta CD y z la distancia de P a la recta EF. La condición impuesta por el enunciado es:

AB x + CD y = EF z

Por otra parte, si AB corta a CD en Q, CD corta a EF en R y EF corta a AB en S, teniendo en cuenta el valor del área del triángulo QRS se tiene que:

QR · dist(S,QR) = QS x + QR y + RS z = W^2 -->

--> (QS + RS · AB / EF) x + (QR + RS · CD / EF) y = W^2

--> U x + V y = W^2,

donde U := QS + RS · AB / EF, V := QR + RS · CD / EF y W^2 := QR · dist(S,QR), son tres segmentos de longitud conocida.

Sólo falta investigar qué tipo de lugar geométrico representa U x + V y = W^2. De momento, no tengo la solución.

[apolonio]

Dados tres segmentos de longitudes U, V y W, y dos rectas r y s, el lugar geométrico de todos los puntos P del plano tales que U · dist(P,r) + V · dist(P,s) = W^2 es un paralelogramo cuyos vértices pertenecen a las rectas r y s (2 vértices opuestos están sobre r y los otros 2 vértices están sobre s; el centro del paralelogramo es el punto de intersección de r y s). No sé cómo se puede justificar ésto facilmente, pero lo he descubierto experimentalmente usando un programa de geometría dinámica, y con eso es suficiente.

Para determinar los vértices del paralelogramo hay que tener en cuenta que para éstos se cumple que dist(P,r) = 0 ó dist(P,s) = 0. Para los dos vértices situados sobre r (dist(P,r)=0), será V · dist(P,s) = W^2, que se resuelve con una construcción de media proporcional así:

1) Traza un segmento AB de lontitud V
2) Levanta una perpendicular a AB por el extremo B
3) Con centro en B traza un arco de radio W, que corta a la perpendicular en un punto C
4) La mediatriz de AC corta a la prolongación de AB en un punto O
5) La circunferencia de centro O que pasa por A y C corta a la prolongación de AB en un punto D tal que la distancia BD es el valor dist(P,s) buscado
6) Las paralelas a s a la distancia BD (2 paralelas, una por cada lado) cortarán a la recta r en dos vértices opuestos del paralelogramo buscado

Para los otros dos vértices, dist(P,s) = 0, con lo que U · dist(P,r) = W^2, de donde se obtiene dist(P,r) como antes, y se trazan paralelas a r a esta distancia que corten a s en los vértices buscados.

El paralelogramo resultante de unir los cuatro vértices obtenidos es el lugar geométrico de P buscado.

[João Risueño Cruz]

5) Las paralelas a s a la distancia BD (2 paralelas, una por cada lado) cortarán a la recta r en dos vértices opuestos del paralelogramo buscado

donde esta la recta s ?

[apolonio]

Las rectas r y s se refieren a AB y CD, respectivamente. También he corregido el proceso añadiendo un nuevo paso que faltaba entre el 4) y el 5)

[João Risueño Cruz]

[João Risueño Cruz]

1) Traza un segmento AB de lontitud V


no entiendo que sea AB=V y no AB=U ?

[apolonio]

Hay que repetir el mismo procedimiento con U y con V. En el procedimiento dado, los puntos A, B, C y D que se mencionan son puntos genéricos de una construcción auxiliar, que nada tienen que ver con los segmentos AB y CD del enunciado.

El procedimiento sólo indica cómo hallar los cuatro vértices del paralelogramo pedido resolviendo las construcciones de media proprocional V · dist(P,s) = W^2 y V · dist(P,r) = U^2, donde los segmentos U, V y W se definen a partir de los datos del enunciado como U := QS + RS · AB / EF, V := QR + RS · CD / EF y W^2 := QR · dist(S,QR), siendo Q la intersección de AB con CD, R la intersección de CD con EF y S la intersección de AB con EF.