pentagono

Cuestiones relativas a los trazados en el plano

Moderador: vicente

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João Risueño Cruz
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pentagono

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:(
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apolonio
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Mensaje por apolonio »

Sean P, Q, R, S y T los cinco vértices del pentágono buscado, con P entre E y A, Q entre A y B, etc. Q se puede considerar como el punto P girado 60º con centro en A. R sería el giro de 60º con centro en B del punto Q, y así sucesivamente. Después de 5 giros de 60º con centros en A, B, C, D y E, el punto P vuelve sobre sí msimo.

Una composición de giros (varios giros aplicados de forma sucesiva) es equivalente a un único giro. En particular, un giro con centro en A y ángulo alfa seguido de un giro con centro en B y ángulo beta, es equivalente a un giro con centro en un punto U que es la intersección de dos rectas: (1) la recta AB girada un ángulo -alfa/2 con centro en A y (2) la recta AB girada un ángulo beta/2 con centro en B. Para averiguar el ángulo de giro se toma un punto X cualquiera y se le aplican sucesivamente los dos giros con centros en A y B, obteniendo, tras los dos giros, un punto X', tal que <XUX' será el ángulo de giro.

Obténgase, por el procedimiento anterior, el giro equivalente a los giros de centros A y B, obteniendo el punto U. A continuación, obténgase el equivalente de los giros con centro en U y con centro en C, obteniendo un nuevo centro de giro equivalente V. Procédase igual con V y D, obteniendo W, y con W y E, obteniendo X.

Al final, los cinco giros iniciales se habrán sustituido por un único giro de centro X. Como P es invariante tras los cinco giros, P también será invariante en el giro de centro X. En un giro cualquiera, el único punto invariante es el propio centro de giro, así que se tiene que P es coincidente con X (con el centro del giro equivalente a los cinco giros).

El resto de vértices Q, R, S y T se obtienen mediante giros sucesivos de 60º del punto P, con centro en A, B, C y D, respectivamente.
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João Risueño Cruz
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Mensaje por João Risueño Cruz »

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como se determinan los centros de los giros ?

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apolonio
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Mensaje por apolonio »

Voy a intentar explicarlo mejor. Definimos primero una secuencia de 5 giros que es la siguiente: el primer giro es el de centro A, que lleva el vértice del pentágono que está entre E y A al vértice que está entre A y B; el segundo giro es el de centro B, que deja el vértice anterior en el siguiente vértice del pentágono; los tres últimos giros tendrán centros en C, D y E, respectivamente. Nótese que tras los 5 giros, el vértice del pentágono situado entre A y E regresa a su posición inicial. Nótese además que todos los giros definidos van en el sentido de las agujas del reloj y, por ponerle un signo (los signos que indican el sentido de giro son muy importantes en este problema), diremos que son de +60º.

Vayamos paso a paso hallando los giros equivalentes:

1) El giro equivalente de los dos primeros giros (con centros en A y B) tendrá su centro en un punto F. El punto F es la intersección de la recta AB girada -30º con centro en A y la recta AB girada +30º con centro en B. El ángulo de giro de este giro equivalente es +120º.

2) El giro equivalente de los giros con centros en F y C tiene su centro en un punto G, que será la intersección de la recta FC girada -60º con centro en F, y la recta FC girada +30º con centro en C. El ángulo de giro de este giro equivalente es de +180º.

3) El giro equivalente de los giros con centros en G y D tiene su centro en un punto H, que será la intersección de la recta GD girada -90º con centro en G, y la recta GD girada +30º con centro en D. El ángulo de giro de este giro equivalente es de +240º (ó -120º).

4) El giro equivalente de los giros con centros en H y E (y, por lo tanto, equivalente de los cinco giros sucesivos con centros en A, B, C, D y E) tiene su centro en un punto P, que será la intersección de la recta HE girada -120º (ó +60º) con centro en H, y la recta HE girada +30º con centro en E.

5) El resto de vértices Q, R, S y T se obtienen mediante giros sucesivos de 60º del punto P, con centro en A, B, C y D, respectivamente.
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João Risueño Cruz
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ok problema resuelto

Mensaje por João Risueño Cruz »

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genial

:wink:
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