cuerda

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Sean N el punto medio de AB, P el punto diametralmente opuesto a M, Q la intersección de AB con OM y R la intersección de la paralela a AB que pasa por D con la recta OM.

Los triángulos MQC y MRD son semejantes, de donde:

MQ / MC = QR / CD --> MC = MQ · CD / QR

También los triángulos MPD y MQC son semejantes:

MQ / MC = (MC + CD) / 2r -->
--> QR / CD = CD · [1 + MQ / QR] / 2r -->
--> QR · 2r = CD^2 · [1 + MQ / QR]
--> 2r · QR^2 - CD^2 · QR - CD^2 · MQ = 0 -->
--> QR^2 - (CD^2 / 2r) · QR - CD^2 · MQ / 2r = 0 -->
--> (QR - CD^2 / 4r)^2 = CD^4 / 16r^2 + CD^2 · MQ / 2r = (CD^2 / 2r) · (CD^2 / 8r + MQ)


Procedimiento:

1) Obténgase, mediante construcciones de media o cuarta proporcional, los segmentos x = CD^2 / 2r e y = CD^2 / 8r + MQ

2) Obténgase el segmento z que es media proporcional entre x e y

3) La distancia QR será z + x/2, lo cual permite obtener el punto R en la figura

4) La paralela a AB por R corta a la circunferencia en el punto D

5) La recta DM corta a AB en el punto C.

[apolonio]

He comprobado que el procedimiento es correcto:

[João Risueño Cruz]

[João Risueño Cruz]

QR^2 - (CD^2 / 2r) · QR - CD^2 · MQ / 2r = 0 -->
--> (QR - CD^2 / 4r)^2 = CD^4 / 16r^2 + CD^2 · MQ / 2r

no entiendo