problemas de circunferencias y polígonos

[Tomás]

alguien me puede ayudar sobre como resolver estos problemas?

1. dado el cuadrilatero A(-6,-4)B(-5,1)C(4,3)D(6,-4), determinar y demostrar el lugar geometrico del centro de los paralelogramos q pueden inscribirse en dicho cuadrilatero.

2. dadas dos circunferencias C1 i C2 tangentes entre si, d centros (-2,3.5) y (3,3.5) y d radios 3 cm i 2 cm respectivamente, y otra circunferencia C3 d centro (6.2,-0.9) y radio 2 cm, trazar una cuarta q corte ortogonalmente las dos primeras y sea tangente a la tercera.

3. trazar una circunferencia q pase x el punto P(5,5), sea tangente a la recta y = -3 y corte ortogonalmente a la circunferencia de centro O(-1,1) y de radio 3 cm.

4. construir un cuadrilatero inscriptible A(3,-5)BCD(9,-5), sabiendo q AB=5cm, BC=10cm y CD=9cm.

muchas gracias y feliz año nuevo

[apolonio]

Para el problema 3:

En toda inversión las circunferencias dobles cortan ortogonalmente a la circunferencia de inversión (también llamada circunferencia de puntos dobles).

Por lo tanto, considérese la inversión definida por la circunferencia de cento O (centro de inversión) y radio 3 cm. Puesto que la circunferencia solución ha de cortar a ésta ortogonalmente, la circunferencia solución va a ser un elemento doble en esta inversión. Por lo tanto, la circunferencia solución pasará por el punto P y también por su inverso; de la misma forma, la circunferencia solución ha de ser tangente a la recta y = -3 y también a la circunferencia inversa de ésta.

Teniendo en cuenta todo esto podras resolver el problema como un problema de tangencias convencional

[apolonio]

Para el problema 2:

El lugar geométrico de los centros de las circunferencias que cortan ortogonalmente a dos circunferencias dadas es el eje radical de dichas circunferencias.

La circunferencia pedida tendrá su centro en el eje radical de C1 y C2. En principio, cualquier circunferencia con centro en este eje que sea tangente a C3 y que corte a las otras dos circunferencias debería ser una solución posible del problema. A mi entender, el problema parece tener infinitas soluciones a menos que hayas olvidado mencionar algún dato más.

[apolonio]

Para el problema 4, conocidos los cuatro lados de un cuadrilátero cíclico (o inscriptible), los valores de las diagonales vienen dados por las fórmulas:

AC = (AB·CD + BC·AD) · (AB·AD + BC·CD) / (AB·BC + CD·AD), y
BD = (AB·CD + BC·AD) · (AB·BC + CD·AD) / (AB·AD + BC·CD)

No lo he intentado, pero supongo que se podrán desarrollar estas fórmulas y buscar una forma de construir gráficamente los valores de las diagonales

[Tomás]

muchas gracias!!!

si... yo tampoco entiendo como se puede resolver geometricamente el problema 4

supongo q debe haber algun metodo relativamente rapido, pero no soy capaz de verlo

gracias d nuevo y hasta otra!

[apolonio]

Yo he entendido en el cuarto problema que se están dando las coordenadas de los vértices A y D y, por lo tanto, el lado AD. Por lo tanto, se trata de dibujar un cuadrilátero del que se sabe es circunscriptible conociendo sólo la medida de sus 4 lados.

[apolonio]

Para el ejercicio primero he encontrado experimentalmente el siguiente resultado:

Si trazas paralelas a cada uno de los lados que pasen por uno de los dos vértices opuestos (elige siempre el vértice tal que la paralela quede dibujada dentro del cuadrilátero) quedarán formados cuatro paralelogramos inscritos en el cuadrilátero tal que cada uno de los paralelogramos tiene un vértice común con uno de los vértices del cuadrilátero.

Si unes los puntos medios de estos cuatro paralelogramos se forma un cuadrilátero que es el lugar geométrico buscado (el centro de cualquier otro paralelogramo inscrito pertenecerá a este cuadrilátero o estará en su interior). Es decir, los lados del cuadrilátero así determinado son las posiciones límite de los centros del resto de paralelogramos.

No sé cómo demostrar ésto, pues he hallado este resultado experimentalmente trazando distintos paralelogramos inscritos con un programa de geometría dinámica, pero espero que te sirva para algo.

[Tomás]

si, en el 4 los puntos son A(3,-5) B(?,?), C (?,?) y D(9,-5), pero no encuentro forma teorica ni practica de poderlo resolver, solo sabiendo la longitud d los lados y q es inscriptible en la circunferencia

respecto al 1, yo tambien veo lo del cuadrilatero obtenido a partir de la union de esos 4 centros, gracias a apolonio, pero tampoco encuentro forma teorica ni practica de poderlo resolver

lo seguire intentando, gracias x la ayuda!!!

[apolonio]

Respecto al problema 1 creo que podríamos hacer el razonamiento siguiente:

Dado el cuadrilátero ABCD si tomamos un punto P sobre el lado AB y un punto Q sobre lado AD, el paralelogramo inscrito en el cuadrilátero ABCD y tal que uno de sus lados es PQ podría determinarse de la siguiente forma:

1) Se traza una paralela a BC por P y una paralela a DC por Q; ambas paralelas se cortan en un punto X
2) La paralela a AX que pasa por P corta al lado BC en el punto M y la paralela a AX que pasa por Q corta al lado DC en el punto N, tal que PMNQ es un paralelogramo inscrito en el cuadrilátero ABCD.

Dejemos ahora el punto Q fijo y consideremos que el punto P puede moverse libremente sobre el lado AB. Al moverse el punto P, el punto M se mueve a lo largo del lado BC. Puesto que el centro del cuadrilátero es siempre el punto medio de la diagonal QM, su lugar geométrico será el segmento homotético el lado BC en la homotecia de centro Q y razón 1/2. Este segmento homotético será paralelo al lado BC y situado a igual distancia de BC que de Q siendo dicha distancia, por tanto, igual a la mitad de distancia de Q al lado BC. Los extermos del segmento homotético serán las intersecciones de la recta paralela al lado BC con las rectas QB y QC.

Si ahora se mueve Q a lo largo del lado AD, el segmento homotético seguirá siendo paralelo al lado BC, pero su distancia al lado BC aumentará o disminuirá, por ser siempre igual a la mitad de la distancia del punto Q al lado BC, la cual va aumentando o disminuyendo al acercar el punto Q a uno u otro extremo del lado AD. En concreto, el segmento homotético estará más cerca del lado BC cuando Q coincide con el punto A y más alejado de él cuando Q coincide con D, o al contrario (razonando para un paralelogramo cualquiera, independientemente de los datos del problema).

Ahora bien, como los puntos B y C son fijos, los extremos del segmento homotético estarán ubicados sobre sendas rectas paralelas al lado AD (pasando por los puntos medios de AB y CD, respectivamente).

Hasta ahora la conclusión es que el centro del paralelogramo debe estar contenido en el paralelogramo limitado por las dos rectas paralelas a AD que pasan por los puntos medios de AB y CD respectivamente, y otras dos rectas paralelas a AC que pasan asimismo por dichos puntos medios.
No obstante, puede extenderse el razonamiento y concluir que el centro del paralelogramo debe estar igualmente en el interior del paralelogramo limitado por las rectas paralelas a AB y a CD que pasan por los puntos medios de los lados AD y BC.

La intersección de ambos paralelogramos nos da otro paralelogramo que es el lugar geométrico buscado.

[apolonio]

Pongo aquí la imágen para mostrar como quedaría resuelto el ejercicio 1:

[apolonio]

Corrección sobre el problema 2:

Al resolver este problema comencé enunciando la propiedad: El lugar geométrico de los centros de las circunferencias que cortan ortogonalmente a dos circunferencias dadas es el eje radical de dichas circunferencias. Esta propiedad es cierta, si bien está mal empleada.

El centro de la circunferencia que corta ortogonalmente a c1 y a c2 estará en el eje radical de ambas, lo cual no implica que cualquier circunferencia con centro en el eje radical va a cortar ortogonalmente a las dos circunferencias.

Dadas dos circunferencias que se cortan ortogonalmente, los puntos de intersección de ambas circunferencias son además los puntos de tangencia de las rectas tangentes a una de las circunferencias trazadas desde el centro de la otra.

En el caso particular de tener dos circunferencias tangentes (como es el de este ejercicio), el eje radical de las dos circunferencias ha de ser la perpendicular a la recta que une los centros de las dos circunferencias y pasa por el punto de tangencia de ambas. Como el centro de la circunferencia que las corta ortogonalmente ha de estar sobre el eje radical, el eje radical mismo será una de las rectas tangentes a las circunferencias trazadas desde el centro de la circunferencia ortogonal, lo que implica que el punto de tangencia de las dos circunferencias tangentes pertenece también a la circunferencia ortogonal.

En definitiva, la circunferencia pedida ha de satisfacer las condiciones:

1) Su centro está sobre el eje radical de c1 y c2
2) Pasa por el punto de tangencia de c1 y c3
3) Es tangente a c3

Este problema de tangencias se puede transformar por dilatación en el de encontrar los centros de las circunferencias tales que:

1') Su centro está sobre el eje radical de c1 y c2
2') Pasa por el punto P que está situado sobre el eje radical de c1 y c2 y a una distancia del punto de tangencia de c1 y c2 igual al radio de c3 (más lejos de C3 que el punto de tangencia)
3') Pasa por C3

Basta con determinar P y trazar la mediatriz de PC3, que cortará al eje radical de c1 y c2 en el centro O de la circunferencia solución. La circunferencia solución tendrá centro en O y pasará por el punto de tangencia de c1 y c2

[Tomás]

sobre el 1 he leido que los paralelogramos inscritos en un cuadrilatero deben tener sus lados paralelos a las diagonales del cuadrilatero (?), a ver si el lugar geometrico va a ser al final una recta... ni idea, se puede interpretar d muchas formas por lo que veo.

en el que estoy mas encallado es en el 4, no lo consigo. no se como encontrar el cuadrilatero ABCD, tan solo sabiendo los puntos A(3,-5) y D(9,-5), y que es inscriptible en una circunferencia. en este dato debe estar la clave, pero no consigo dar con ella, ni teorica ni practicamente.

muchas gracias d nuevo!

[Manoli]

as utilizado un programa puedes deccirme cual es

[apolonio]

Manoli, yo suelo utilizar el programa "Compass and Ruler" (Compás y Regla). Es un programa de geometría dinámica gratuito, de una universidad alemana. Puedes encontrar información y descargártelo en esta página web (en inglés):

http://www.z-u-l.de/doc_en/index.html

También puedes probarlo a través de la web sin necesidad de descargártelo en el siguiente enlace (tienes que pulsar el botón "Start" y se abre una ventana nueva con el programa:

http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/hom ... unCar.html

[apolonio]

He encontrado una forma de resolver el ejercicio del cuadrilátero cíclico (o inscriptible).

Considérese dibujado el cuadrilátero ABCD y sea E el punto donde concurren las prolongaciones de los lados AB y CD. Puesto que en el cuadrilátero cíclico los ángulos opuestos han de ser complementarios, se tiene que los ángulos <ABC y <ADE son iguales, y lo mismo sucede con los ángulos <BCD y <DAE (se dice que las rectas BC y AD son antiparalelas).

Podemos afirmar entonces que los triángulos BCE y ADE son semejantes, y establecer las siguientes relaciones de proporcionalidad entre sus lados:

BC / AD = DE / (AB + AE) = AE/ (CD + DE )

De la doble igualdad anterior obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones, donde las incógnitas son las magnitudes AE y DE desconocidas:

AB · AD = - AD · AE + BC · DE
CD · AD = BC · AE - AD · DE

Las soluciones del sistema de ecuaciones anterior serán:

AE = AD · (BC · CD + AD · AB) / (BC^2 - AD^2), y
DE = AD · (AD · CD + BC · AB) / (BC^2 - AD^2)

Llamando X a la magnitud X = (BC^2 - AD^2)^(1/2), las expresiones anteriores para las distancias AE y DE pueden reescribirse convenientemente como:

AE = (AD / X) · [(CD / X) · BC + (AB / X) · AD)], y
DE = (AD / X) · [(CD / X) · AD + (AB / X) · BC)]

De manera que ahora sí pueden hallarse gráficamente las magnitudes de AE y DE mediante construcciones de cuarta proporcionalidad.