Si me lo pudieseis explicar paso por paso,lo agradecería porque intento entender los pasos,y los tengo en un libro,pero no acabo de entenderlos,ya sabeis que lo dela inversión...buffffff.gracias
Inversion y tangencias
Moderador: vicente
Inversion y tangencias
Otra ayudita: a ver,necesito saber bien el proceso para construir circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas, conociendo el punto de tangencia de una de ellas.
Si me lo pudieseis explicar paso por paso,lo agradecería porque intento entender los pasos,y los tengo en un libro,pero no acabo de entenderlos,ya sabeis que lo dela inversión...buffffff.gracias
Si me lo pudieseis explicar paso por paso,lo agradecería porque intento entender los pasos,y los tengo en un libro,pero no acabo de entenderlos,ya sabeis que lo dela inversión...buffffff.gracias
Sean c1 y c2 las dos circunferencias dadas (de centros C1 y C2, respectivamente) y T el punto de tangencia sobre la circunferencia c1. Para empezar, sabemos que el centro de la circunferencia buscada (O) tiene que estar en la recta C1T (esta es la condición para que las dos circunferencias sean tangentes en T.
Vamos a resolver el problema por potencias, hallando el centro radical de las tres circunferencias c1, c2 y o. Puesto que c1 y o son tangentes en T, su eje radical será la perpendicular al radio C1T que pasa por T. Por otra parte, se halla el eje radical de c1 y c2 por alguno de los procedimientos que conozcas, que cortará al eje radical de c1 y o en el centro radical de c1, c2 y o.
Por las propiedades del centro radical (igual potencia respecto de las tres circunferencias), si T' es el punto de tangencia entre c2 y o la perpendicular al segmento C2O que pasa por T' (que es el eje radical de las circunferencias c2 y o) pasará por el centro radical antes hallado, y además los puntos T y T' estarán a la misma distancia del centro radical (por la condición de la igualdad de potencias).
Por lo tanto, si se traza un arco con centro en el centro radical que pase por T, éste cortará a la circunferencia c2 en el punto T' (2 soluciones). La recta C2T' cortará a la recta C1T en el centro O buscado.
Te pongo una imagen de ejemplo:
Vamos a resolver el problema por potencias, hallando el centro radical de las tres circunferencias c1, c2 y o. Puesto que c1 y o son tangentes en T, su eje radical será la perpendicular al radio C1T que pasa por T. Por otra parte, se halla el eje radical de c1 y c2 por alguno de los procedimientos que conozcas, que cortará al eje radical de c1 y o en el centro radical de c1, c2 y o.
Por las propiedades del centro radical (igual potencia respecto de las tres circunferencias), si T' es el punto de tangencia entre c2 y o la perpendicular al segmento C2O que pasa por T' (que es el eje radical de las circunferencias c2 y o) pasará por el centro radical antes hallado, y además los puntos T y T' estarán a la misma distancia del centro radical (por la condición de la igualdad de potencias).
Por lo tanto, si se traza un arco con centro en el centro radical que pase por T, éste cortará a la circunferencia c2 en el punto T' (2 soluciones). La recta C2T' cortará a la recta C1T en el centro O buscado.
Te pongo una imagen de ejemplo:
Hay varias formas de resolver este ejercicio aplicando el concepto de inversión. Como sabrás una inversión se caracteriza por tener un centro de inversión O y una potencia de inversión k, tal que si P y P' son un par de puntos inversos, se cumple que OP · OP' = k, cualquiera que sea la pareja de puntos escogidos. Hay varias posibilidades para escoger un centro de inversión y un valor de la potencia de inversión que ayuden a resolver el ejercicio.
Una posibilidad es tomar la inversión que transforma la circunferencia c1 en la circunferencia c2 y viceversa. La figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por el centro de inversión. El centro de inversión que transforma una circunferencia en la otra es también el centro de una homotecia que transforma una circunferencia en la otra.
Existen dos centros de homotecia (positiva y negativa) y, por lo tanto, dos centros de inversión, que se han señalado en la figura como P y Q. Estos dos centros de inversión se hallan uniendo los extremos libres de dos radios paralelos en una y otra circunferencia (los dos radios en el mismo sentido para hallar P o en sentidos opuestos para hallar Q).
Las circunferencias solución han de ser tangentes a c1 y también a c2. La circunferencia inversa de la circunferencia solución ha de ser tangente a las circunferencias inversas de c1 y de c2, que son c2 y c1 respectivamente. Decimos entonces que las circunferencias solución son circunferencias dobles en la inversión considerada (son inversas de sí mismas), lo que implica que los puntos inversos de todos los puntos de la circunferencia solución deben estar contenidos en la propia circunferencia solución.
En particular, el inverso de T debe estar en la circunferencia solución. Además, como T es un punto de c1, el inverso de T será un punto de la circunferencia inversa de c1, que es c2. Como la circunferencia solución debe ser tangente a c2, se concluye que el punto de tangencia de la circunferencia solución con c2 es precisamente el inverso de T.
El inverso de T será el punto donde la recta PT (ó QT para la otra solución) corte a la circunferencia c2). Los centros de las circunferencias solución estarán en la intersección de la recta C1T con la recta C2T', siendo T' el punto inverso de T.
Una posibilidad es tomar la inversión que transforma la circunferencia c1 en la circunferencia c2 y viceversa. La figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por el centro de inversión. El centro de inversión que transforma una circunferencia en la otra es también el centro de una homotecia que transforma una circunferencia en la otra.
Existen dos centros de homotecia (positiva y negativa) y, por lo tanto, dos centros de inversión, que se han señalado en la figura como P y Q. Estos dos centros de inversión se hallan uniendo los extremos libres de dos radios paralelos en una y otra circunferencia (los dos radios en el mismo sentido para hallar P o en sentidos opuestos para hallar Q).
Las circunferencias solución han de ser tangentes a c1 y también a c2. La circunferencia inversa de la circunferencia solución ha de ser tangente a las circunferencias inversas de c1 y de c2, que son c2 y c1 respectivamente. Decimos entonces que las circunferencias solución son circunferencias dobles en la inversión considerada (son inversas de sí mismas), lo que implica que los puntos inversos de todos los puntos de la circunferencia solución deben estar contenidos en la propia circunferencia solución.
En particular, el inverso de T debe estar en la circunferencia solución. Además, como T es un punto de c1, el inverso de T será un punto de la circunferencia inversa de c1, que es c2. Como la circunferencia solución debe ser tangente a c2, se concluye que el punto de tangencia de la circunferencia solución con c2 es precisamente el inverso de T.
El inverso de T será el punto donde la recta PT (ó QT para la otra solución) corte a la circunferencia c2). Los centros de las circunferencias solución estarán en la intersección de la recta C1T con la recta C2T', siendo T' el punto inverso de T.
En efecto, el procedimiento que nos da pacodib también es una aplicación de la inversión.
Si las circunferencias solución son tangentes a c1 en el punto T, también serán tangentes a la recta tangente a c1 en el punto T, pintada de verde en la figura, transformando el problema al problema equivalente de trazar circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, conocido el punto de tangencia sobre la recta.
Para resolver este problema equivalente por inversión, buscamos la inversión que nos transforme la circunferencia c2 en la recta verde. Para que la circunferencia se transforme en recta debe pasar por el centro de inversión. Por lo tanto, el centro de inversión será un punto de la circunferencia situado en la perpendicular a la recta que pasa por el centro de la circunferencia, lo cual da las dos posibles soluciones I1 (para la inversión positiva) e I2 (para la negativa).
Al considerar estas inversiones, las circunferencias solución van a ser tangentes a la circunferencia c2 y a su elemento inverso (la recta verde), es decir, las circunferencias solución son elementos dobles de la inversión (los inversos de todos los puntos de la circunferencia solución están también contenidos en la circunferencia solución). En particular, el inverso del punto de tangencia sobre la recta (T) será el punto de tangencia sobre la circunferencia c2. En la inversión de centro I1 el inverso de T es T3, y en la inversión de centro I2 el inverso de T es T4. Conocidos los puntos de tangencia sobre c2 los centros de las circunferencias solución se hallan facilmente por ser la intersección de la recta C1T con la recta C2T3 o C2T4, respectivamente.
Si las circunferencias solución son tangentes a c1 en el punto T, también serán tangentes a la recta tangente a c1 en el punto T, pintada de verde en la figura, transformando el problema al problema equivalente de trazar circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas, conocido el punto de tangencia sobre la recta.
Para resolver este problema equivalente por inversión, buscamos la inversión que nos transforme la circunferencia c2 en la recta verde. Para que la circunferencia se transforme en recta debe pasar por el centro de inversión. Por lo tanto, el centro de inversión será un punto de la circunferencia situado en la perpendicular a la recta que pasa por el centro de la circunferencia, lo cual da las dos posibles soluciones I1 (para la inversión positiva) e I2 (para la negativa).
Al considerar estas inversiones, las circunferencias solución van a ser tangentes a la circunferencia c2 y a su elemento inverso (la recta verde), es decir, las circunferencias solución son elementos dobles de la inversión (los inversos de todos los puntos de la circunferencia solución están también contenidos en la circunferencia solución). En particular, el inverso del punto de tangencia sobre la recta (T) será el punto de tangencia sobre la circunferencia c2. En la inversión de centro I1 el inverso de T es T3, y en la inversión de centro I2 el inverso de T es T4. Conocidos los puntos de tangencia sobre c2 los centros de las circunferencias solución se hallan facilmente por ser la intersección de la recta C1T con la recta C2T3 o C2T4, respectivamente.