pregunta muy básica tang a una hipérbola
Moderador: vicente
pregunta muy básica tang a una hipérbola
Hola! me piden hallar las tang a una hipérbola desde un punto exterior, bien las hallo y me surge una duda si tengo el eje real y las rectas tang, necesitaría para definir la parábola los puntos de tangencias de la las rectas tangentes y la hipérbola?. Bien si así fuera se harían como en el caso de la elipse? es decir ( sin pretender liar) uniendo los puntos de intersección resultantes de la circunferencia focal, con la circunferencia que trazo desde el punto exterior P al foco más próximo F´, me dan dos puntos M y N si uno estos puntos con el otro foco , llamemos le F, me cortarán a las tangentes halladas ( ¿Estaría bien así? Los puntos de tangencia?, es que he mirado en varios sitios , y no lo encuentro. Saludos y como siempre GRACIASSSSSSSSS
más vale paso que dure, que trote que canse
. Un saludo y muchas gracias
Creo que la propiedad de que el simétrico de un foco respecto de una tangente está situado en la circunferencia focal del otro foco es válida para todas las cónicas (en el caso de la parábola, la directriz debe entenderse como circunferencia focal del foco situado en el infinito).
Para la parábola, conocidos el foco y dos tangentes, hallas los simétricos del foco respecto a cada una de las dos tangentes y obtienes dos puntos que determinan la directriz. Con el foco y la directriz la parábola queda perfectamente definida. Ni siquiera necesitas conocer los puntos de tangencia.
Para la hipérbola, dadas una tangente y los dos focos, el simétrico de uno de los dos focos respecto de la tangente estará a una distancia del otro foco igual a 2a, quedando la hipérbola perfectamente caracterizada. Nuevamente no necesitas conocer los puntos de tangencia y no necesitas más que 1 tangente.
Ahora bien, si sólo conocieses 1 de los focos necesitarías conocer 3 tangentes (en este caso el otro foco será en el centro de la circunferencia que pasa por los simétricos del foco conocido respecto de las tres tangentes dadas), 3 puntos de la hipérbola (en este caso, con centro en los 3 puntos dados trazas 3 circunferencias que pasen por el foco conocido; el otro foco ha de ser el centro de la circunferencia que es tangente a las otras 3 circunfencias), o cualquier otra combinación de 3 elementos entre tangentes y puntos de la hipérbola (que pueden ser incluso puntos de tangencia; en este caso puede venir bien saber que el simétrico de un foco respecto de una tangente, el punto de tangencia sobre esa tangente y el otro foco están alineados).
Para la parábola, conocidos el foco y dos tangentes, hallas los simétricos del foco respecto a cada una de las dos tangentes y obtienes dos puntos que determinan la directriz. Con el foco y la directriz la parábola queda perfectamente definida. Ni siquiera necesitas conocer los puntos de tangencia.
Para la hipérbola, dadas una tangente y los dos focos, el simétrico de uno de los dos focos respecto de la tangente estará a una distancia del otro foco igual a 2a, quedando la hipérbola perfectamente caracterizada. Nuevamente no necesitas conocer los puntos de tangencia y no necesitas más que 1 tangente.
Ahora bien, si sólo conocieses 1 de los focos necesitarías conocer 3 tangentes (en este caso el otro foco será en el centro de la circunferencia que pasa por los simétricos del foco conocido respecto de las tres tangentes dadas), 3 puntos de la hipérbola (en este caso, con centro en los 3 puntos dados trazas 3 circunferencias que pasen por el foco conocido; el otro foco ha de ser el centro de la circunferencia que es tangente a las otras 3 circunfencias), o cualquier otra combinación de 3 elementos entre tangentes y puntos de la hipérbola (que pueden ser incluso puntos de tangencia; en este caso puede venir bien saber que el simétrico de un foco respecto de una tangente, el punto de tangencia sobre esa tangente y el otro foco están alineados).
,Por si interesa el tema, completo un poco más.
Para una parábola, si se conoce la directriz y una recta tangente, se sabe que el simétrico del foco con respecto a la tangente tiene que estar sobre la directriz, con lo cual, expresándolo al revés, se tiene que el foco de la parábola tienen que estar situado en la recta simétrica de la directriz con respecto a alguna recta tangente. Esto es útil para resolver problemas en los que se tenga como dato la directriz de una parábola y alguna tangente. Por ejemplo:
Hallar el foco de una parábola de la que se conoce la recta directriz y:
a) 2 rectas tangentes a la parábola
Se dibujan las rectas simétricas de la directriz con respecto a cada una de las dos tangentes. El punto donde se corten las dos rectas simétricas es el foco de la parábola.
b) Una recta tangente a la parábola y el punto de tangencia
Se dibuja la recta simétrica de la directriz con respecto a la tangente. Se traza la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia. El foco de la parábola es la intersección de la recta simétrica y de la perpendicular a la tangente.
c) Una recta tangente a la parábola y un punto cualquiera de la misma
Se dibuja la recta simétrica de la directriz con respecto a la tangente. Se dibuja la circunferencia con centro en el punto dado que es tangente a la directriz. El foco de la parábola es la intersección de la recta simétrica y la circunferencia dibujadas (2 soluciones).
Para una parábola, si se conoce la directriz y una recta tangente, se sabe que el simétrico del foco con respecto a la tangente tiene que estar sobre la directriz, con lo cual, expresándolo al revés, se tiene que el foco de la parábola tienen que estar situado en la recta simétrica de la directriz con respecto a alguna recta tangente. Esto es útil para resolver problemas en los que se tenga como dato la directriz de una parábola y alguna tangente. Por ejemplo:
Hallar el foco de una parábola de la que se conoce la recta directriz y:
a) 2 rectas tangentes a la parábola
Se dibujan las rectas simétricas de la directriz con respecto a cada una de las dos tangentes. El punto donde se corten las dos rectas simétricas es el foco de la parábola.
b) Una recta tangente a la parábola y el punto de tangencia
Se dibuja la recta simétrica de la directriz con respecto a la tangente. Se traza la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia. El foco de la parábola es la intersección de la recta simétrica y de la perpendicular a la tangente.
c) Una recta tangente a la parábola y un punto cualquiera de la misma
Se dibuja la recta simétrica de la directriz con respecto a la tangente. Se dibuja la circunferencia con centro en el punto dado que es tangente a la directriz. El foco de la parábola es la intersección de la recta simétrica y la circunferencia dibujadas (2 soluciones).