Sistema diédrico, distancias.

[JMCartabón]

¿Podéis ayudarme con este ejercicio?



Gracias de antemano.

[apolonio]

Consideremos primero el problema en el plano:

Dados dos puntos A y B y una recta r, hallar un punto C sobre r tal que AC + CB sea mínima

Se trata de un clásico problema de simetría axial que se resuelve así: si B* es el simétrico de B respecto a r, entonces para cualquier punto C de r será CB = CB*. Por lo tanto, minimizar AC +CB es lo mismo que minimizar AC + CB* y como la distancia mínima es la línea recta, el punto C buscado será la intersección de AB* con r.

Pues ahora hay que hacer lo mismo pero en el espacio, con la ventaja de que la recta r es la línea de tierra. Para hallar B*, simétrico de B respecto a la línea de tierra, no hay más que hallar los simétricos de las proyecciones horizontal y vertical respecto de la línea de tierra. El punto C buscado será la intersección de AB* con la línea de tierra.

[JMCartabón]

Hola apolonio, gracias por contestarme tan rapidamente.

El razonamiento del plano lo entiendo perfectamente, pero el trazado que me sugieres en diédrico, o no lo he entendido o no es correcto .

Según esta imagen no es posible. ¿Puedes aclararmelo con un dibujo?, gracias.

[JMCartabón]

Hola, ¿podeís ayudarme con este ejercicio?, en realidad el ejercicio es mucho más largo, pero el inicio es lo que no sé cómo resolver.

Gracias.

[Garicuper]

Hola amigos:

Probablemente lo entenderás si haces lo siguiente:
1)Trazas dos planos que pasen por LT uno por cada punto.
2)Abates ambos planos sobre H o sobre V.
De esta forma ya tienes el problema situado en un solo plano y podrás aplicar lo dicho por "apolonio".

Saludos y ¡ánimo!

[JMCartabón]

Ahora si tiene sentido, ¡Qué fácil! he intentado hacerlo con cambios de plano, planos proyectantes, tercera proyección, etc... pero no salía, al menos a mí no.

Gracias.

[pacodib]

podria ser encontrar el punto de L.T. que tenga minima distancia a la recta AB
es decir puntos de mínima distancia entre AB y L:T.

trazar el plano con L.T. y // a AB por un punto de L.T.
distancia de A a dicho plano, encontrar el punto del plano y trazar por el una // a AB hasta obtener el punto en L.T.

[JMCartabón]

El método que ha explicado Garicuper me parece muy apropiado para este ejercicio, puesto que sólo debo de abatir los dos puntos en el plano horizontal, supongo que lo que propone Pacodib es hallar la recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan, AB y L.T. ¿cómo lo hago?, ¿el punto solución es el mismo?. No lo sé.

Pacodib, puedes aclararme un poco el trazado. Gracias.

[JMCartabón]

Perdona, Pacodib, me podrías adjuntar un dibujo, me pierdo en el trazado y me gustaría tener más de una forma de conseguir el punto C.

Gracias.

[apolonio]

Yo entiendo que lo que afirma Pacodib no es correcto. Si consideramos el triángulo ABC, lo que propone Pacodib es minimizar la distancia del vértice C a la recta AB, es decir, minimizar la altura hc o, lo que es lo mismo dado que el lado AB viene dado, minimizar el área del triángulo. Sin embargo, lo que se pide es minimizar AC + BC o, lo que es lo mismo dado que el lado AB viene dado, minimizar el perímetro del triángulo. Minimizar el área no implica minimizar el perímetro, ni viceversa; de hecho se trata de dos problemas de optimización independientes.

Supóngase que se ha hallado la distancia mínima de AB a la línea de tierra, habiendo obtenido una posición del vértice C tal que el ángulo A en el triángulo ABC es muy grande (próximo a 180º). En este caso límite es claro que el perímetro del triángulo es grandísimo.

[pacodib]

lleva razón APOLONIO
ha sido un momento de inspiración no correcto, lo hice en dibujo y efectivamente no daba.
lo siento.

[JMCartabón]

Pregunta para Apolonio, el primer trazado que me indicastes no me salía, ¿es que no te entendí bien?, puedes aclararlo, gracias.

Sólo he podido resolverlo como me dijo Garicuper, ¿conoce alguien otro trazado?. Otra vez gracias.

[apolonio]

JMCartabon, no me entendiste porque es que respondí MUY MAL. Ví que se podía resolver en el plano y me precipité creyendo ver que los tres elementos (puntos A y B y la LT) se podían situar en un mismo plano y resolver el problema sobre él, lo cual no es así, ya que como la recta AB no corta a la LT es imposible definir un plano que contenga a ambas.

Para compensar mi error voy a intentar dar un procedimiento alternativo y de paso justificar el de Garicuper...

Quiero resolver el problema aplicando las mismas ideas que cuando se resuelve en el plano. Así pues, voy a buscar un punto B* que cumpla estas tres condiciones:

1.- La distancia B*C es igual a la distancia BC
2.- Los puntos A, B* y C están alineados
3.- El punto C está situado entre B* y A, lo que garantiza, junto con las otras dos condiciones, que la suma de distancias B*C + CA = BC + CA es mínima

Una vez se tenga el punto B*, C se determinará facilmente como la intersección de la recta AB* con la LT.

A continuación voy a analizar cada una de las tres condiciones en el espacio:

Condición 1.- El lugar geométrico de todos los puntos B* que están a la misma distancia de C que el punto B, es una esfera con centro en C y que pasa por B. Al desconocer la posición de C no podemos dibujar esta esfera, pero al menos, al ser C necesariamente un punto de la LT, sabemos que la intersección de dicha esfera con un plano perpendicular a la LT (plano de perfil) que pase por B va a ser una circunferencia con centro en B0 (proyección ortogonal de B sobre la LT) y radio igual a la distancia de B a la LT (hipotenusa de un triángulo rectángulo que tenga por catetos la cota y el alejamiento de B). Tomaremos esta circunferencia B0 como un primer lugar geométrico para B*.

Condición 2.- Si B* está situado sobre la recta AC, pertenecerá asimismo a cualquier plano que contenga a AC. En particular, como desconocemos la posición exacta de C pero sabemos que es un punto de la LT, B* pertenecerá al plano que contenga a A y a la LT.

Condición 3.- Como A es un punto del primer cuadrante y C está sobre la LT, esta condición obliga a escoger B* en el tercer cuadrante.

Reuniendo las tres condiciones, B* será la intersección de la circunferencia con centro en B0 que pasa por B con el plano que pasa por la LT y por el punto A; de los dos puntos de intersección de la circunferencia con el plano, se tomará el que esté situado en el tercer cuadrante.

Después de este análisis quízás un poco extenso para que se entienda bien el porqué de cada paso, ahí va la resolución del problema:



Obsérvese que hay que trabajar con una tercera proyección sobre un plano de perfil auxiliar de manera que puedan visualizarse tanto la circunferencia B0 (que al estar contenida en otro plano de perfil se proyectará sobre el plano auxiliar en verdadera magnitud) como el plano que pasa por la LT y por el punto A. Sobre la tercera proyección, la intersección B* entre la circunferencia y el plano se determina inmediatamente (recuérdese que hay que tomar la intersección en el tercer cuadrante). El ejercicio queda resuelto al determinar la intersección de la recta B*A con la LT.

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Ahora viene la siguiente reflexión: como hemos visto, todos los puntos B* que pertenecen a la circunferencia con centro en B0 que pasa por B están a la misma distancia de C que B. De la misma forma, todos los puntos A* que pertenezcan a la circunferencia con centro en A0 (proyección ortogonal de A sobre la LT) que pasa por A estarán a la misma distancia de C que A. Así pues minimizar la suma de distancias AC + CB es lo mismo que minimizar la suma A*C + CB*, lo cual puede hacerse buscando dos puntos A* y B* sobre las circunferencias anteriores que estén alineados con C. En particular, podemos tomar los puntos A* y B* situados sobre el plano de proyección horizontal (que también contiene a C), tomando por ejemplo A* en el primer/cuarto cuadrante y B* en el segundo/tercer cuadrante de forma que el punto C quede entre ambos.

Esta operación de mover el punto A sobre la circunferencia A0 hasta coincidir con el PPH es lo mismo que aplicar un giro utilizando como eje la LT y también es lo mismo que abatir sobre el PPH el plano que pasa por la LT y contiene a A, lo cual justifica el procedimiento indicado por Garicuper. Este método simplifica más el trazado, como puede verse en la siguiente figura:

[JMCartabón]

Chapó!!, me quito el sombrero y agradezco tu explicación.

[tinea_de_lierra]

(soy estudiante de 1º de bachillerato) Mi pregunta es la siguiente;
si la suma (AC + BC) ha de ser la distancia minima posible, ¿ no se obtiene el punto C al unir el punto (A ó B) ,que tenga mayor alejamiento, perpendicularmente a la linea de tierra?
Tambien me gustaria saber la relacion que hay entre el punto de vista y el punto de fuga de las verticales, refiriendome a perspectiva cónica.
Gracias por anticipado.