tres circunferencias tangentes
Moderador: vicente
tres circunferencias tangentes
Hola, me gustaría saber como contruir tres circumferencias tangentes que sus centros sean los vértices del triangulo
Última edición por Manoli el Mié Abr 09, 2008 12:04 pm, editado 1 vez en total.
Dibuja el triángulo, halla su incentro y los puntos de tangencia entre las circunferencias estarán en las proyecciones del incentro sobre los lados (los puntos de corte de las perpendiculares a cada uno de los lados que pasan por el incentro con los propios lados).
Justificación:
Sea Ta la proyección del incentro I sobre el lado a y Tb su proyección sobre el lado b. Se tiene que |TaI| = |TbI| = r (radio de la circunferencia inscrita. Los triángulos TaIC y TbIC son ambos rectángulos, tienen un lado común (IC) y otro lado que mide lo mismo (|TaI| = |TbI|). Por lo tanto, estos dos triángulos son iguales, con lo que |TaC| = |TbC|. El mismo razonamiento se puede hacer para otros lados del triángulo y llegar a que |TaB| = |TcB| y |TbA| = |TcA|.
Ahora, dado que si dos circunfrencias son tangentes sus centros están alineados con el punto de tangencia, los puntos de tangencia de las tres circunferencias que buscamos deben estar sobre los lados, verificando además que los puntos de tangencia deben estar dos a dos a la misma distancia de alguno de los vértices (por pertenecer a la misma circunferencia). Esta condición la cumplen precisamente las proyecciones del incentro sobre los lados, como se demostró en el párrafo anterior.
Justificación:
Sea Ta la proyección del incentro I sobre el lado a y Tb su proyección sobre el lado b. Se tiene que |TaI| = |TbI| = r (radio de la circunferencia inscrita. Los triángulos TaIC y TbIC son ambos rectángulos, tienen un lado común (IC) y otro lado que mide lo mismo (|TaI| = |TbI|). Por lo tanto, estos dos triángulos son iguales, con lo que |TaC| = |TbC|. El mismo razonamiento se puede hacer para otros lados del triángulo y llegar a que |TaB| = |TcB| y |TbA| = |TcA|.
Ahora, dado que si dos circunfrencias son tangentes sus centros están alineados con el punto de tangencia, los puntos de tangencia de las tres circunferencias que buscamos deben estar sobre los lados, verificando además que los puntos de tangencia deben estar dos a dos a la misma distancia de alguno de los vértices (por pertenecer a la misma circunferencia). Esta condición la cumplen precisamente las proyecciones del incentro sobre los lados, como se demostró en el párrafo anterior.