elipse
Moderador: vicente
- João Risueño Cruz
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En general, todos estos problemas de intersección de rectas con cónicas definidas por puntos y/o tangentes pueden resolverse aplicando los teoremas de Pascal y Brianchon y, en los casos más complicados, el teorema de la involución de Desargues.
El teorema de Pascal dice lo siguiente: dado un hexágono de vértices A1, A2, B1, B2, C1 y C2, inscrito en una cónica cualquiera (es decir, dados 6 puntos de una cónica), si A1B2 y A2B1 se cortan en un punto P, A1C2 y A2C1 se cortan en un punto Q, y B1C2 y B2C1 se cortan en un punto R, entonces P, Q y R están alineados.
La notación A1, A2, etc., resulta útil para aplicar correctamente sin confundirse el teorema de Pascal. En este problema vamos a asignar así los puntos dados: A=A1, B=A2, C=B1, D=B2 y E=C1. Finalmente, queremos determinar otro punto de la elipse sobre la recta r, que vamos a denominar C2.
El punto P será la intersección de A1B2 con A2B1, es decir, la intersección de AD con BC. El punto Q será la intersección de A1C2 con A2C1, es decir, la intersección de la recta r con BE.
Por último, el punto R estará en la intersección de PQ con B2C1, es decir, en la intersección de PQ con DE. La recta B1C2 también debe pasar por R, con lo cual el punto C2 (el punto desconocido que buscamos) estará en la interseción de B1R con la recta r, es decir, en la intersección de CR con r.
El teorema de Pascal dice lo siguiente: dado un hexágono de vértices A1, A2, B1, B2, C1 y C2, inscrito en una cónica cualquiera (es decir, dados 6 puntos de una cónica), si A1B2 y A2B1 se cortan en un punto P, A1C2 y A2C1 se cortan en un punto Q, y B1C2 y B2C1 se cortan en un punto R, entonces P, Q y R están alineados.
La notación A1, A2, etc., resulta útil para aplicar correctamente sin confundirse el teorema de Pascal. En este problema vamos a asignar así los puntos dados: A=A1, B=A2, C=B1, D=B2 y E=C1. Finalmente, queremos determinar otro punto de la elipse sobre la recta r, que vamos a denominar C2.
El punto P será la intersección de A1B2 con A2B1, es decir, la intersección de AD con BC. El punto Q será la intersección de A1C2 con A2C1, es decir, la intersección de la recta r con BE.
Por último, el punto R estará en la intersección de PQ con B2C1, es decir, en la intersección de PQ con DE. La recta B1C2 también debe pasar por R, con lo cual el punto C2 (el punto desconocido que buscamos) estará en la interseción de B1R con la recta r, es decir, en la intersección de CR con r.
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