problema 374 de Julius Petersen
Moderador: vicente
- João Risueño Cruz
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problema 374 de Julius Petersen
Muchas Gracias
Lo que propone Petersen es determinar el centro O de una rotación que transforme la circunferencia O1 en la circunferencia O2, y el punto A en el punto B. Demuestra que el centro O debe determinarse de la siguiente forma: Si P es el punto de intersección de AO1 y BO2, el centro O será la intersección de la circunferencia que pasa por A, B y P, con la circunferencia que pasa por O1, O2 y P.
Con la rotación inidicada, O1 y O2 serán puntos homólogos, tal y como lo son los puntos A y B. Como el enunciado exige además que los ángulos <AO1X y <BO2Y sean iguales, se tiene que los puntos X e Y también deben ser homólogos en la citada rotación.
Si A y B son dos puntos homólogos en una rotación de centro O, se cumple siempre la propiedad de que dos rectas homólogas cualesquiera siempre se cortan sobre un punto que pertenece a la circunferencia que pasa por A, B y O. De aquí se obtene la conclusión de que AX y BY deben cortarse sobre la circunferencia que pasa por A, B y O (dado que AX y BY son retas homólogas).
Por otra parte, AX y BY son además los ejes radicales de la circunferencia buscada con las circunferencias O1 y O2, respectivamente. El punto de intersección de AX y BY será, por tanto, el centro radical de la circunferencia buscada y las circunferencias O1 y O2. Dicho centro radical debe estar situado sobre el eje radical de las circunferencias O1 y O2.
En consecuencia, el punto de corte de AX y BY debe obtenerse como la intersección de dos lugares geométricos: (i) la circunferencia que pasa por A, B y O, y (ii) el eje radical de las circunferencias O1 y O2. Una vez obtenido este punto de corte M, se trazarán las rectas AM y BM, y se determinarán así los puntos X e Y.
Con la rotación inidicada, O1 y O2 serán puntos homólogos, tal y como lo son los puntos A y B. Como el enunciado exige además que los ángulos <AO1X y <BO2Y sean iguales, se tiene que los puntos X e Y también deben ser homólogos en la citada rotación.
Si A y B son dos puntos homólogos en una rotación de centro O, se cumple siempre la propiedad de que dos rectas homólogas cualesquiera siempre se cortan sobre un punto que pertenece a la circunferencia que pasa por A, B y O. De aquí se obtene la conclusión de que AX y BY deben cortarse sobre la circunferencia que pasa por A, B y O (dado que AX y BY son retas homólogas).
Por otra parte, AX y BY son además los ejes radicales de la circunferencia buscada con las circunferencias O1 y O2, respectivamente. El punto de intersección de AX y BY será, por tanto, el centro radical de la circunferencia buscada y las circunferencias O1 y O2. Dicho centro radical debe estar situado sobre el eje radical de las circunferencias O1 y O2.
En consecuencia, el punto de corte de AX y BY debe obtenerse como la intersección de dos lugares geométricos: (i) la circunferencia que pasa por A, B y O, y (ii) el eje radical de las circunferencias O1 y O2. Una vez obtenido este punto de corte M, se trazarán las rectas AM y BM, y se determinarán así los puntos X e Y.
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