5 puntos de una parabola

Cuestiones relativas a los trazados en el plano

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João Risueño Cruz
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5 puntos de una parabola

Mensaje por João Risueño Cruz »

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:(
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apolonio
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Mensaje por apolonio »

Vuelvo a remitirme a este documento (http://aegi.euitig.uniovi.es/ficheros/1 ... OLOGIA.pdf) que ya te comenté el otro día para resolver el problema de la elipse. El caso de la parábola es más sencillo, y se basa en la idea de que la homología conserva las relaciones de tangencia, es decir, si una recta r es tangente a la circunferencia, su recta homóloga r' será tangente a la parábola homóloga, y los respectivos puntos de tangencia serán homólogos entre sí.

Sabemos además que la recta límite es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están situados en el infinito del plano. Entonces, si T es el punto de tangencia de la circunferencia con la recta límite, su homólog T' será el punto del infinito de la parábola, que está situado en la dirección del eje de la misma (puedes entender que cuanto más lejos está un punto de la parábola de su vértice, la tangente en dicho punto tiende cada vez más a ser paralela al eje; llevando esto al límite, podemos decir que la parábola tiene un punto impropio que está situado en la dirección de su eje). De todo esto se deduce que el eje de la parábola es paralelo a OT.

La recta tangente a la parábola en su vértice es siempre perpendicular al eje. Entonces, si trazamos una perpendicular a OT que corte a la recta límite l en un punto M, la tangente a la parábola en su vértice deberá ser paralela a OM.

Si trazamos desde M la recta t tangente a la circunferencia en un punto V, dicha recta t será la homóloga de la tangente en el vértice de la parábola, t', y el punto homólogo de V, V', será el vértice de la parábola. Para determinar V' téngase en cuenta que si t corta al eje de homología en un punto doble A=A', entonces V' tiene que ser el punto de intersección de OV con la paralela a OM que pasa por A' (esta última paralela es t', la tangente a la parábola en su vértice).

Tomando otros puntos auxiliares N sobre la recta límite, y trazando la recta r tangente a la circunferencia desde N en un punto P, podemos obtner un nuevo punto de la parábola (P', el homólogo de P) como hemos hecho antes: si la tangente r corta al eje en un punto doble B=B', entonces P' estará en la intersección de OP con la paralela a ON que pasa por B'.

Así se pueden obtener cuantos puntos de la parábola se deseen. Ni siquiera sería necesario determinar el eje y el vértice como hemos hecho, ya que no lo pide el enunciado. Si se desea determinar el foco de la parábola, puede hacerse muy facilmente teniendo en cuenta que si las tangnetes r' y t' se cortan en un punto Q', entonces el foco F estará en la intersección de la perpendicular a r' trazada por Q' con el eje de la parábola.
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João Risueño Cruz
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ok problema resuelto

Mensaje por João Risueño Cruz »

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genial

:wink:
Muchas Gracias
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