problema 362 de Julius Petersen

Cuestiones relativas a los trazados en el plano

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apolonio
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Mensaje por apolonio »

Para transformar c1 en c2 deberíamos realizar estas dos operaciones:

1º) Un giro de 90º con centro en P
2º) Una homotecia de centro P y razón r2/r1

La combinación de un giro y una homotecia con el mismo centro es lo que Petersen llama una rotación.

El homólogo de la recta t1 en la rotación anterior es otra recta t1'. La rotación conserva tangencias, pues así lo hacen el giro y la homotecia. De esta forma, como t1 es tangente a c1, entonces t1' debe ser tangente a c2.

Entonces, podemos dibujar la circunferencia c2 sin más que resolver un caso de tangencias PRR, ya que sabemos que esta circunferencia: (i) es tangente a t2; (ii) es tangente a t1'; (iii) pasa por el punto P.


Este sería el procedimiento completo:

1) Hallar la recta homologa de t1, t1', en la rotación de centro P, ángulo de 90º y razón r2/r1:
1a) Trazar la perpendicular y la paralela a t1 por el punto P
1b) Con centro en P trazar un arco de radio r1 que corta a la perpendicular en un punto M
1c) Con centro en P trazar un arco de radio r2 que corta a la paralela en un punto N
1d) Por el punto Q en que la perpendicular corta a t1, trazar una paralela a MN, que corta a la paralela a t1 en un punto R
1e) Trazar la perpendicular a t1 por R, que será t1'

2) Hallar c2, resolviendo el caso de tangentecias PRR:
2a) Sea w la bisectriz del ángulo formado por las rectas t1' y t2, W un punto cualquiera de dicha bisectriz, y S el punto de intersección de t1' y t2
2b) Con centro en W dibujar la circunferencia tangente a t1' y t2, que será cortada por la recta SP en un punto T
2c) Trazar la paralela a TW por P, que cortará a la bisectriz en O2, centro de la circunferencia c2

3) Dibujar la circunferencia c1:
3a) Si R2 es el radio de la circunferencia c2, hallar el radio de la circunferencia c1, R1, resolviendo la cuarta proporcional R1/R2 = r1/r2
3b) Con centro en P, trazar un arco de radio R1, que cortará a la perpendicular a O2P trazada por P en el punto O1, centro de la circunferencia c1
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