A ver si alguno encuentra el método exacto para resolver el siguiente problema que tengo "atascado" desde hace años:
Determinar el máximo rectángulo MNPQ, de lado MN = 40 mm, posible de inscribirse en el rectángulo ABCD (AB = 120, BC = 80).
Yo dí con un método para resolverlo de forma aproximada, pero esto no me satisface.
Rectángulo inscrito en otro
Moderador: vicente
Voy a probar con una resolución analítica, tomando un sistema de coordenadas cartesianas con origen en el vértice A(0,0). De forma genérica, sean los otros tres vértices del rectángulo B(a,0), C(a,b) y D(0,b).
Se toma sobre el lado AB un punto M(c,0), con 0<c<a> d=raiz(e^2-c^2).
La ecuación de la recta MN tendrá una ecuación general y=m·x+n; como pasa por N(0,d) será n=d y por pasar por M(c,0) será 0=m·c+d --> m=-d/c --> MN: y=d-d·x/c.
Sea el punto O la intersección de CD con la perpendicular a MN por N. Esta recta perpendicular tendrá una ecuación general y=c·x/d+q, y por pasar por N(0,d) será q=d, con lo que la ecuación de
es y=c·x/d+d. Si el punto O es O(f,b), será b=c·f/d+d --> f=(b-d)·d/c
La longitud del segmento será: |NO|^2=(b-d)^2+f^2=(b-d)^2·(1+d^2/c^2)=(b-d)^2·(c^2+d^2)/c^2=(b-d)^2·e^2/c^2 --> |NO|=(b-d)·e/c.
El área del rectángulo inscrito valdrá: S=|MN|·|NO|=(b-d)·e^2/c --> s/e^2 = [b-raiz(e^2-c^2)]/c. Derivando con respecto a c e igualando a 0 para maximizar:
c^2/raiz(e^2-c^2) - b + raiz(e^2-c^2) = 0
c^2 - b·raiz(e^2-c^2) + e^2 - c^2 = 0
raiz(e^2-c^2)=e^2/b
e^2-c^2=e^4/b^2=d^2
d=e^2/b
d·b=e^2
Procedimiento
1) Con centro en A, se traza un arco de radio MN, que corte a AB en un punto R
2) Se traza la mediatriz de RD, que corta a la recta AD en un punto S
3) El simétrico de S con respecto a A es el punto N buscado, uno de los vértices del rectangulo máximo
Si no me he equivocado en ningún paso, esta solución debería valer, aunque no sé si el triángulo resultante es máximo o mínimo
Se toma sobre el lado AB un punto M(c,0), con 0<c<a> d=raiz(e^2-c^2).
La ecuación de la recta MN tendrá una ecuación general y=m·x+n; como pasa por N(0,d) será n=d y por pasar por M(c,0) será 0=m·c+d --> m=-d/c --> MN: y=d-d·x/c.
Sea el punto O la intersección de CD con la perpendicular a MN por N. Esta recta perpendicular tendrá una ecuación general y=c·x/d+q, y por pasar por N(0,d) será q=d, con lo que la ecuación de
es y=c·x/d+d. Si el punto O es O(f,b), será b=c·f/d+d --> f=(b-d)·d/cLa longitud del segmento
será: |NO|^2=(b-d)^2+f^2=(b-d)^2·(1+d^2/c^2)=(b-d)^2·(c^2+d^2)/c^2=(b-d)^2·e^2/c^2 --> |NO|=(b-d)·e/c.El área del rectángulo inscrito valdrá: S=|MN|·|NO|=(b-d)·e^2/c --> s/e^2 = [b-raiz(e^2-c^2)]/c. Derivando con respecto a c e igualando a 0 para maximizar:
c^2/raiz(e^2-c^2) - b + raiz(e^2-c^2) = 0
c^2 - b·raiz(e^2-c^2) + e^2 - c^2 = 0
raiz(e^2-c^2)=e^2/b
e^2-c^2=e^4/b^2=d^2
d=e^2/b
d·b=e^2
Procedimiento
1) Con centro en A, se traza un arco de radio MN, que corte a AB en un punto R
2) Se traza la mediatriz de RD, que corta a la recta AD en un punto S
3) El simétrico de S con respecto a A es el punto N buscado, uno de los vértices del rectangulo máximo
Si no me he equivocado en ningún paso, esta solución debería valer, aunque no sé si el triángulo resultante es máximo o mínimo