dos puntos

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Sea OA = OB = X la distancia a determinar para minimizar la suma de distancias.

Aplicando el teorema del coseno a los triángulos POA y POB:

PA^2 = X^2 - 2 PO cos(<POA) X + PO^2 = [X - PO cos(<POA)]^2 + PO^2 · [1 - cos^2(<POA)] = [X - PO cos(<POA)]^2 + [PO sen(<POA)]^2
PB^2 = X^2 - 2 PO cos(<POB) X + PO^2 = [X - PO cos(<POB)]^2 + [PO sen(<POB> [ X^2 - 2 OM X + OM^2 ] [ X^2 - 2 ON X + PO^2 ] = [ X^2 - 2 ON X + ON^2 ] [ X^2 - 2 OM X + PO^2 ]

--> X^4 - 2 (OM + ON) X^3 + (OM^2 + PO^2 + 4 OM ON) X^2 - 2 OM (PO^2 + OM ON) X + OM^2 PO^2 = X^4 - 2 (OM + ON) X^3 + (ON^2 + PO^2 + 4 OM ON) X^2 - 2 ON (PO^2 + OM ON) X + ON^2 PO^2

--> (OM^2 - ON^2) X^2 - 2 (PO^2 + OM ON) (OM - ON) X + PO^2 (OM^2 - ON^2) = 0

--> X^2 - 2 (PO^2 + OM ON) X / (OM + ON) + PO^2 = 0

--> X [ 2 (PO^2 + OM ON) / (OM + ON) - X ] = PO^2

Sea Y^2:= OM ON (Y es media proporcional entre OM y ON), Z^2 := PO^2 + Y^2 (Z es hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos PO e Y), y K = 2 Z^2 / (OM+ON) (K se obtiene resolviendo la cuarta proporcional K/2Z = Z/(OM+ON))

Luego se dibuja un segmento CD de longitud K, se traza la semicircunferencia de diámetro CD y una paralela a CD a la distancia PO, cortando a la semicircunferencia en un punto E. La proyección ortogonal de E sobre CD es un punto F, tales que CF y FD son los posibles valores de X que resuelven la ecuación planteada.

[João Risueño Cruz]

Y es media proporcional entre OM y ON


cuales son las longitudes OM y ON ?

[apolonio]

Perdona, me olvidé de indicar que M es la proyección ortogonal de P sobre r1 y N es la proyección ortogonal de P sobre r2

[João Risueño Cruz]

CD de longitud K, se traza la semicircunferencia de diámetro CD y una paralela a CD a la distancia PO

la longitud K/2 me da menor que PO