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Cuestiones relativas a los trazados en el plano

Moderador: vicente

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João Risueño Cruz
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Mensaje por João Risueño Cruz »

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apolonio
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Mensaje por apolonio »

Como ya sabemos, dados dos segmentos AB y CD el lugar geométrico de todos los puntos P del plano tales que AB · dist(P,AB) + CD · dist (P,CD) = W^2, para algún valor del segmento W, es un paralelogramo que tiene sus vértices sobre las rectas AB y CD. A medida que se hace variar el valor de W, según he podido comprobar experimentalmente, van resultando paralelogramos que son todos homotéticos entre sí en una homotecia de centro la intersección de AB y CD, es decir, los lados correspondientes de todos los paralelogramos son siempre paralelos entre sí. Cuanto mayor es W, mayor es el paralelogramo y viceversa.

Entonces, si damos un valor arbitrario a W y obtenemos el correspondiente paralelogramo-lugar geométrico de P, tendremos ya la dirección que tienen que tener los lados del paralelogramo para los valores de W máximo y mínimo.

El valor mínimo de W posible se corresponde con el paralelogramo de tamaño mínimo que tiene algún punto común con la circunferencia; esto se cumple cuando uno de los vértices del paralelogramo es uno de los puntos de la circunferencia y el resto de vértices quedan en el interior de la misma. Como los vértices del paralelogramo han de estar sobre las rectas AB y CD, si la recta AB corta a la circunferencia en los puntos D y E, y la recta CD la corta en los puntos F y G, hay qué determinar cuál de estos puntos D, E, F ó G es vértice de un paralelogramo de menor tamaño.

Sea Q el punto de intersección de A y B y centro del paralelogramo. Como Q debe equidistar de los cuatro vértices del paralelogramo buscado, entonces está claro que de los cuatro puntos D, E, F ó G, el que esté más próximo a Q será el punto P que da un paralelogramo de menor tamaño y, por lo tanto el que tiene una suma de áreas de ABP y CDP mínima.

Por su parte, el valor máximo de W posible será aquél que dé un paralelogramo lo mayor posible, de forma que este paralelogramo tenga al menos un punto sobre la circunferencia. Está claro que para que se dé esta condición, uno de los lados del paralelogramo debe ser tangente a la circunferencia y los otros tres deben ser totalmente exteriores (que no corten a la circunferencia).

Si trazamos perpendiculares a los lados del paralelogramo que obtuvimos para el valor arbitrario de W que pasen por el centro de la circunferencia, dichas perpendiculares cortarán a la circunferencia en cuatro puntos H, I, J y K, que son los cuatro posibles puntos de tangencia del paralelogramo máximo con la circunferencia. Hay que trazar las cuatro tangentes y medir la distancia entre los puntos de corte de cada tangente con las dos rectas AB y CD; la mayor distancia indicará qué tangente da lugar al paralelogramo de mayor tamaño y, por lo tanto, cuál de los puntos de tangencia es el punto P buscado que maximiza la suma de áreas de los triángulos ABP y CDP.
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