maximo minimo

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Sea un sistema de coordenadas cartesianas con centro en A, en el que el punto B tiene coordenadas (b,0) y la recta r tiene ecuación y=k (b es la longitud del segmento AB y k es la distancia entre AB y r). Un punto P genérico de la recta r tendrá coordenadas (p,k). Entonces, la razón AP/BP elevada al cuadrado vale:

(AP/BP)^2 = AP^2 / BP^2 = [p^2 + k^2] / [(p-b)^2 + k^2]

Derivando con respecto a p e igualando a 0 para maximizar o minimizar, se tiene que:

2 p [(p-b)^2 + k^2] - 2 (p-b) [p^2 + k^2] = 0
p^3 - 2 b p^2 + b^2 p + k^2 p - p^3 - k^2 p + b p^2 + b k^2 = 0
- b p^2 + b^2 p + b k^2 = 0
p^2 - b p = k^2
p (p-b) = k^2


Procedimiento:

1) La perpendicular a AB por A corta a r en un punto C

2) La circunferencia con centro en el punto medio de AB que pasa por C corta a la prolongación de AB en un punto D, más próximo a A que a B

3) La circunferencia con centro en C y radio DB corta a r en las dos posibles posiciones del punto P (habrá que comprobar si cada una de estas posiciones maximiza o minimiza la razón AP/BP)

[João Risueño Cruz]