dos puntos

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Si P es un punto cualquiera de la circunferencia y R es el radio de la circunferencia, por el teorema del coseno:

PA^2 = R^2 + OA^2 - 2 R OA cos(<COP - <COA)
PB^2 = R^2 + OB^2 - 2 R OB cos(<COP - <COB)
PC^2 = R^2 + OC^2 - 2 R OC cos(<COP)
PD^2 = R^2 + OD^2 - 2 R OD cos(<COP - <COD)

Sumando las cuatro expresiones:

PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD ^2 = 4 R^2 + OA^2 + OB^2 + PC^2 + OD ^O - 2 R [OA cos(<COP - <COA) + OB cos(<COP - <COB) + OC cos(<COP) + OD cos(<COP - <COD)]

Derivando con respecto a <COP e igualando a cero

2R [OA sen(<COP - <COA) + OB sen(<COP - <COB) + OC sen(<COP) + OD sen(<COP - <COD)] = 0

OA cos(<COA) sen(<COP) - OA sen(<COA) cos(<COP) + OB cos(<COB) sen(<COP) - OB sen(<COB) cos(<COP) + OC sen(<COP) + OD cos(<COD) sen(<COP) - OD sen(<COD) cos(<COP) = 0

[OA cos(<COA) + OB cos(<COB) + OC + OD cos(<COD)] sen(<COP) = [OA sen(<COA) + OB sen(<COB) + OD sen(<COD)] cos(<COP)

tan(<COP) = [OA sen(<COA) + OB sen(<COB) + OD sen(<COD)] / [OA cos(<COA) + OB cos(<COB) + OC + OD cos(<COD)] = X / Y,

donde se han definido:

X := OA sen(<COA) + OB sen(<COB) + OD sen(<COD)
Y := OA cos(<COA) + OB cos(<COB) + OC + OD cos(<COD)


Resolución:

1) Obtener los segmentos X e Y; OA sen(<COA) se obtiene como la distancia AA', siendo A' la proyección ortogonal de A sobre la recta OC; OA cos(<COA) es igual a la distancia OA'

2) Dibujar un triángulo rectángulo de catetos X e Y; el ángulo opuesto a X es <COP

3) Determinar el punto P sobre la circunferencia, situado sobre una recta que forma el ángulo <COP con la recta OC; Q es el punto diametralmente opuesto a P, siendo así tan(<COQ) = tan(<COP)

[João Risueño Cruz]